Exercício 3.20. Utilize o Método da falsa posição para determinar a raiz da equação x \log (x)-1=0, em [2,3] \operatorname{com} \epsilon=10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x)=x\log(x)-1
no intervalo [2,3] usando o Método da Falsa Posição e tolerância \epsilon=10^{-4}. O conteúdo aqui é um método de posição falsa (regula falsi) para encontrar raízes de funções contínuas, usando retas secantes para refinar o intervalo onde muda o sinal de f.

Passo 2

Definimos
a_0=2,\quad b_0=3,\qquad f(x)=x\log_{10}(x)-1.
Calculamos
f(a_0)=2\log_{10}(2)-1\approx 2\cdot0{,}30103-1=-0{,}39794<0,
f(b_0)=3\log_{10}(3)-1\approx3\cdot0{,}47712-1=0{,}43136>0.
Como f(a_0) e f(b_0) têm sinais opostos, existe raiz em [2,3].

Passo 3

A cada iteração definimos
c_n=\frac{a_n\,f(b_n)-b_n\,f(a_n)}{f(b_n)-f(a_n)},
avaliamos f(c_n) e escolhemos o subintervalo onde f muda de sinal. Na 1ª iteração:
c_1=\frac{2\cdot0{,}43136-3\cdot(-0{,}39794)}{0{,}43136-(-0{,}39794)}\approx2{,}4780,
f(c_1)=2{,}4780\log_{10}(2{,}4780)-1\approx-0{,}02468<0
Logo, o novo intervalo é [a_1,b_1]=[2{,}4780,\,3].

Passo 4

Repetimos o mesmo processo até \lvert f(c_n)\rvert<10^{-4}:
Iteração 2
c_2\approx2{,}50734,\quad f(c_2)\approx+8{,}9\times10^{-4}>0
intervalo [2{,}4780,\,2{,}50734].
Iteração 3
c_3\approx2{,}49949,\quad f(c_3)\approx-5{,}13\times10^{-3}
intervalo [2{,}49949,\,2{,}50734].
Iteração 4
c_4\approx2{,}50488,\quad f(c_4)\approx-1{,}72\times10^{-3}
intervalo [2{,}50488,\,2{,}50734].
Iteração 5
c_5\approx2{,}50581,\quad f(c_5)\approx-2{,}78\times10^{-4}
intervalo [2{,}50581,\,2{,}50734].
Iteração 6
c_6\approx2{,}50645,\quad f(c_6)\approx+2{,}56\times10^{-4}
intervalo [2{,}50581,\,2{,}50645].
Iteração 7
c_7\approx2{,}50594,\quad f(c_7)\approx-1{,}10\times10^{-4}
intervalo [2{,}50594,\,2{,}50645].
Iteração 8
c_8\approx2{,}50603,\quad f(c_8)\approx-2{,}60\times10^{-5},
e \lvert f(c_8)\rvert<10^{-4}, encerrando o processo.

Resposta

A raiz aproximada obtida é
x\approx2{,}50603.

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