Exercício 3.22. Utilize o Método da secante para determinar a raiz da equação x^{3}-9 x+3= 0 , em [0,1] \operatorname{com} \epsilon=10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz da equação
x^{3} - 9x + 3 = 0
no intervalo [0,1] usando o método da secante com precisão \epsilon = 10^{-4}. Vamos aplicar o método numérico que gera aproximações sucessivas até que a diferença entre iterações seja menor que \epsilon.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^{3} - 9x + 3
e escolhemos as aproximações iniciais
x_{0} = 0,\quad x_{1} = 1.
Calculamos
f(x_{0}) = f(0) = 3,\quad f(x_{1}) = f(1) = 1 - 9 + 3 = -5.

Passo 3

A fórmula do método da secante é
x_{n+1} = x_{n} - f(x_{n}) \,\frac{x_{n} - x_{n-1}}{f(x_{n}) - f(x_{n-1})}.

Passo 4

Iteração 1 ( n=1)
x_{2} = 1 - (-5)\,\frac{1 - 0}{-5 - 3} = \frac{3}{8} = 0,375,
f(x_{2}) = (0,375)^{3} - 9\cdot0,375 + 3 = -0,322266.

Passo 5

Iteração 2 ( n=2)
x_{3} = 0,375 - (-0,322266)\,\frac{0,375 - 1}{-0,322266 - (-5)} \approx 0,331955,
f(x_{3}) = (0,331955)^{3} - 9\cdot0,331955 + 3 \approx 0,048951.

Passo 6

Iteração 3 ( n=3)
x_{4} = 0,331955 - 0,048951\,\frac{0,331955 - 0,375}{0,048951 - (-0,322266)} \approx 0,337627,
f(x_{4}) = (0,337627)^{3} - 9\cdot0,337627 + 3 \approx -0,000153.

Passo 7

Iteração 4 ( n=4)
x_{5} = 0,337627 - (-0,000153)\,\frac{0,337627 - 0,331955}{-0,000153 - 0,048951} \approx 0,337609,
verificamos
\lvert x_{5} - x_{4}\rvert = \lvert 0,337609 - 0,337627\rvert = 1,8\times10^{-5} < 10^{-4},
logo atingimos a tolerância desejada.

Resposta

A raiz aproximada é x \approx 0,3376.

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