Exercício 3.16. Utilizando o Método de Newton e chamando de \left(x_{k}\right), k=0,1,2, \ldots a sequência de aproximações para a solução da equação \tan (x)-2 x=0 no intervalo [1,1,5], \operatorname{com} x_{0}=1,3, encontre um valor aproximado de \left|x_{5}-x_{4}\right| \times 10^{7}.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de \tan(x)-2x=0 no intervalo [1,1,5] usando o Método de Newton com x_{0}=1,3. O conteúdo necessário inclui a definição de
f(x)=\tan(x)-2x,
sua derivada
f'(x)=\operatorname{sec}^2(x)-2,
e a fórmula de iteração de Newton
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.

Passo 2

Aplicando a fórmula para obter x_{1}:
x_{0}=1,3
f(1,3)=\tan(1,3)-2\cdot1,3\approx3,605-2,6=1,005,
f'(1,3)=\operatorname{sec}^2(1,3)-2\approx\frac{1}{0,2672^2}-2\approx14,02-2=12,02,
x_{1}=1,3-\frac{1,005}{12,02}\approx1,21638.

Passo 3

Repetindo para x_{2} e x_{3}:
Para x_{1}=1,21638
f(1,21638)\approx2,7024-2,43276=0,26964,
f'(1,21638)\approx\frac{1}{0,26704^2}-2\approx8,3045-2=6,3045,
x_{2}=1,21638-\frac{0,26964}{6,3045}\approx1,17360.
Para x_{2}=1,17360
f(1,17360)\approx2,3837-2,3472=0,03652,
f'(1,17360)\approx\frac{1}{0,38685^2}-2\approx6,6856-2=4,6856,
x_{3}=1,17360-\frac{0,03652}{4,6856}\approx1,165805.

Passo 4

Agora x_{4} e x_{5}:
Para x_{3}=1,165805
f(1,165805)\approx2,3336-2,33161=0,001989,
f'(1,165805)\approx\frac{1}{0,39402^2}-2\approx6,4388-2=4,4388,
x_{4}=1,165805-\frac{0,001989}{4,4388}\approx1,165357.
Para x_{4}=1,165357
f(1,165357)\approx2,32996-2,330714=-0,000754,
f'(1,165357)\approx\frac{1}{0,39443^2}-2\approx6,4273-2=4,4273,
x_{5}=1,165357-\frac{-0,000754}{4,4273}\approx1,165527.

Passo 5

Calculamos a diferença e multiplicamos por 10^7:
|x_{5}-x_{4}|=1,165527-1,165357=0,000170,
|x_{5}-x_{4}|\times10^{7}\approx0,000170\times10^{7}\approx1703.

Resposta

1703

Exercícios relacionados