Considere o sistema linear:
\begin{aligned} 2 x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3} & =-11 \\\\ -6 x_{1}+8 x_{2}-3 x_{3} & =24 \\\\ 8 x_{1}-7 x_{2}-8 x_{3} & =3 \end{aligned}
Encontre a Fatoração L U da matriz A do sistema e resolva-o utilizando essa decomposição.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 2\\\\ -6 & 8 & -3\\\\ 8 & -7 & -8 \end{pmatrix}
e vetor lado direito
b = \begin{pmatrix}-11\\\ 24\\\ 3\end{pmatrix}
e pede a fatoração A = LU (método de Doolittle) e depois a solução de Ax=b usando essa decomposição. Vamos primeiro obter L e U, depois resolver Ly=b (substituição direta) e Ux=y (substituição regressiva).

Passo 2

No método de Doolittle escolhemos L com diagonal unidade e U com os pivôs. O primeiro pivô é a_{11}=2. Definimos os multiplicadores
\ell_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{-6}{2} = -3, \quad \ell_{31} = \frac{a_{31}}{a_{11}} = \frac{8}{2} = 4.
Esses valores vão para L em posições (2,1) e (3,1) e servem para zerar as entradas abaixo de a_{11} na primeira coluna de A.

Passo 3

Eliminando com esses multiplicadores:
linha 2 ← linha 2 - \ell_{21}·linha 1 dá
[-6,\;8,\;-3] -(-3)\cdot[2,\;-3,\;2] = [0,\,-1,\,3],
linha 3 ← linha 3 - \ell_{31}·linha 1 dá
[8,\;-7,\;-8] -4\cdot[2,\;-3,\;2] = [0,\,5,\,-16].
Agora a forma intermediária de U é
\begin{pmatrix} 2 & -3 & 2\\\\ 0 & -1 & 3\\\\ 0 & 5 & -16 \end{pmatrix}.

Passo 4

O segundo pivô é agora -1 na posição (2,2). Calculamos
\ell_{32} = \frac{\text{entrada}(3,2)}{\text{pivô}} = \frac{5}{-1} = -5.ô
Eliminando na linha 3:
linha 3 ← linha 3 - \ell_{32}·linha 2
[0,\,5,\,-16] -(-5)\cdot[0,\,-1,\,3] = [0,\,5,\,-16] +[0,\,5,\,-15] = [0,\,0,\,-1].
Assim obtemos
U = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 2\\\\ 0 & -1 & 3\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Reunindo os multiplicadores em L e tomando 1 na diagonal, temos
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -3 & 1 & 0\\\\ 4 & -5 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 2\\\\ 0 & -1 & 3\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Resolvemos Ly=b por substituição direta:
\begin{cases} y_1 = b_1 = -11,\\\\ -3\,y_1 + y_2 = b_2 \implies -3(-11)+y_2=24 \implies y_2=-9,\\\\ 4\,y_1 -5\,y_2 + y_3 = b_3 \implies 4(-11)-5(-9)+y_3=3 \implies y_3=2. \end{cases}
Logo
y = \begin{pmatrix}-11\\\ -9\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 7

Resolvemos Ux=y\) por substituição regressiva: \[\begin{cases} 2x_1 -3x_2 +2x_3 = -11,\\\\ -1x_2 +3x_3 = -9,\\\\ -1x_3 = 2. \end{cases}
Da última equação vem x_3=-2\]. Na segunda: \(-x_2+3(-2)=-9 x_2=3. Na primeira: 2x_1-3\cdot3+2(-2)=-11 leva a 2x_1=2 e x_1=1.

Resposta

x_1=1,\quad x_2=3,\quad x_3=-2.

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