Exercício 1.23. Usando a função
e o polinômio de Taylor
ao redor de
, encontrar uma aproximação do valor
. Além disso encontre um limitante superior do erro cometido nesta aproximação.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para usarmos o polinômio de Taylor de grau 6 ao redor de
(ou seja, o polinômio de Maclaurin
) para:
- aproximar o valor de
; - encontrar um limitante superior (uma cota superior) para o erro cometido por essa aproximação.
Informações importantes fornecidas:
- Função:
. - Ponto de expansão:
. - Grau do polinômio:
. - Ponto onde queremos a aproximação:
.
O que vamos fornecer (sem ainda resolver): a expressão de
, o valor numérico de
como aproximação de
e uma cota superior para
.
Passo 2
Construir o polinômio de Taylor de grau
(Maclaurin) para
.
Lembrete rápido (fórmula de Taylor em torno de
):
Para
os derivados seguem um padrão periódico:
e assim por diante, repetindo a cada 4 derivadas.
Avaliar os derivados em
:
Assim, apenas as potências pares aparecem no polinômio. Escrevendo
(termos até
):
Explicando cada termo: cada coeficiente é
. Para
temos
respectivamente, e os denominadores são os fatoriais correspondentes.
Passo 3
Avaliar
em
para obter a aproximação de
.
Substituindo
em
:
Calcular cada fração passo a passo:
Agora combinar:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Portanto a aproximação obtida é
Passo 4
Estimativa do erro usando o resto de Lagrange (cota padrão de Taylor).
Forma geral do resto de Lagrange para o polinômio de grau
em torno de
:
para algum
entre
e
. Tomando valor absoluto,
Aqui
, então
. O sétimo derivado de
é
(padrão periódico), logo
para todo
. Logo podemos tomar
.
Assim a cota de Lagrange é
Simplificando a fração:
Portanto, pelo resto de Lagrange, temos a cota
Passo 5
Obter uma cota superior mais precisa usando o teste da série alternada (Leibniz), que é aplicável ao desenvolvimento em série de potências de
.
Observações:
- A série de Maclaurin de
é
- Para
essa série é alternada (sinais alternam) e os termos de valor absoluto são
- Mostrar que
é uma sequência decrescente a partir de algum . Isso pode ser visto pelo quociente
Para
temos
, então
. Assim, a partir de
os termos já decrescem; em particular os termos relevantes a partir do termo de ordem
decrescem em módulo até zero. E
.
Pelo teste de Leibniz, o erro ao truncar uma série alternada com termos positivos decrescentes é no máximo o módulo do primeiro termo omitido. No nosso caso, truncamos após o termo
(que corresponde a
), então o primeiro termo omitido é o de
(que corresponde a
). Portanto
Calcular essa fração:
Essa é uma cota mais forte (menor) que a cota obtida por Lagrange. Logo uma boa cota superior do erro é
Passo 6
Resumo final e encorajamento: a aproximação com o polinômio de grau 6 é simples de calcular e a cota de erro pode ser obtida por Lagrange (cota geral) ou refinada pelo teste da série alternada (mais precisa aqui). Fica a dica: quando a série alterna e os termos decrescem, use Leibniz — costuma dar cotas bem melhores.