Exercício 1.23. Usando a função f(x)=\cos x e o polinômio de Taylor T_{6}(x) ao redor de a=0, encontrar uma aproximação do valor \cos 2. Além disso encontre um limitante superior do erro cometido nesta aproximação.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cos x e pede para usarmos o polinômio de Taylor de grau 6 ao redor de a=0 (ou seja, o polinômio de Maclaurin T_{6}) para:
  • aproximar o valor de \cos 2;
  • encontrar um limitante superior (uma cota superior) para o erro cometido por essa aproximação.
Informações importantes fornecidas:
  • Função: \,f(x)=\cos x.
  • Ponto de expansão: a=0.
  • Grau do polinômio: 6.
  • Ponto onde queremos a aproximação: x=2.
O que vamos fornecer (sem ainda resolver): a expressão de T_{6}(x), o valor numérico de T_{6}(2) como aproximação de \cos 2 e uma cota superior para |\cos 2 - T_{6}(2)|.

Passo 2

Construir o polinômio de Taylor de grau 6 (Maclaurin) para \cos x.
Lembrete rápido (fórmula de Taylor em torno de a=0):
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}.
Para \cos x os derivados seguem um padrão periódico:
\begin{aligned} f(x)&=\cos x,\\\ f'(x)&=-\sin x,\\\ f''(x)&=-\cos x,\\\ f^{(3)}(x)&=\sin x,\\\ f^{(4)}(x)&=\cos x, \end{aligned}
e assim por diante, repetindo a cada 4 derivadas.
Avaliar os derivados em 0:
\begin{aligned} f(0)&=\cos 0=1,\\\ f'(0)&=-\sin 0=0,\\\ f''(0)&=-\cos 0=-1,\\\ f^{(3)}(0)&=\sin 0=0,\\\ f^{(4)}(0)&=\cos 0=1,\\\ f^{(5)}(0)&=-\sin 0=0,\\\ f^{(6)}(0)&=-\cos 0=-1. \end{aligned}
Assim, apenas as potências pares aparecem no polinômio. Escrevendo T_{6}(x) (termos até x^{6}):
T_{6}(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}.
Explicando cada termo: cada coeficiente é \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}. Para k=0,2,4,6 temos 1,\,-1,\,1,\,-1 respectivamente, e os denominadores são os fatoriais correspondentes.

Passo 3

Avaliar T_{6}(x) em x=2 para obter a aproximação de \cos 2.
Substituindo x=2 em \,T_{6}(x)=1-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}-\dfrac{x^{6}}{6!}:
T_{6}(2)=1-\frac{2^{2}}{2!}+\frac{2^{4}}{4!}-\frac{2^{6}}{6!}.
Calcular cada fração passo a passo:
\begin{aligned} \frac{2^{2}}{2!}&=\frac{4}{2}=2,\\[4pt] \frac{2^{4}}{4!}&=\frac{16}{24}=\frac{2}{3},\\[4pt] \frac{2^{6}}{6!}&=\frac{64}{720}=\frac{8}{90}=\frac{4}{45}. \end{aligned}
Agora combinar:
\begin{aligned} T_{6}(2)&=1-2+\frac{2}{3}-\frac{4}{45}\\[4pt] &=-1+\frac{2}{3}-\frac{4}{45}. \end{aligned}
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 45:
-1+\frac{2}{3}-\frac{4}{45}=-\frac{45}{45}+\frac{30}{45}-\frac{4}{45}=-\frac{19}{45}.
Portanto a aproximação obtida é
T_{6}(2)=-\frac{19}{45}\approx -0{,}422222\ldots]

Passo 4

Estimativa do erro usando o resto de Lagrange (cota padrão de Taylor).
Forma geral do resto de Lagrange para o polinômio de grau n em torno de 0:
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{\,n+1},
para algum \xi entre 0 e x. Tomando valor absoluto,
|R_{n}(x)|\le \frac{\displaystyle\max_{t\in[0,x]}|f^{(n+1)}(t)|}{(n+1)!}|x|^{\,n+1}.
Aqui n=6, então n+1=7. O sétimo derivado de \cos x é \sin x (padrão periódico), logo |f^{(7)}(t)|=|\sin t|\le 1 para todo t. Logo podemos tomar M=1.
Assim a cota de Lagrange é
|R_{6}(2)|\le \frac{2^{7}}{7!}=\frac{128}{5040}.
Simplificando a fração:
\frac{128}{5040}=\frac{8}{315}\approx 0{,}0253968\ldots
Portanto, pelo resto de Lagrange, temos a cota
| \cos 2 - T_{6}(2) | \le \frac{8}{315}.

Passo 5

Obter uma cota superior mais precisa usando o teste da série alternada (Leibniz), que é aplicável ao desenvolvimento em série de potências de \cos x.
Observações:
  • A série de Maclaurin de \cos x é
\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}.
  • Para |x|=2 essa série é alternada (sinais alternam) e os termos de valor absoluto são
a_{k}=\frac{2^{2k}}{(2k)!}.
  • Mostrar que a_{k} é uma sequência decrescente a partir de algum k. Isso pode ser visto pelo quociente
\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{2^{2}}{(2k+2)(2k+1)}=\frac{4}{(2k+2)(2k+1)}.
Para k\ge 1 temos (2k+2)(2k+1)\ge 12, então \dfrac{a_{k+1}}{a_{k}}\le \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}<1. Assim, a partir de k=1 os termos já decrescem; em particular os termos relevantes a partir do termo de ordem x^{6} decrescem em módulo até zero. E \lim_{k\to\infty}a_{k}=0.
Pelo teste de Leibniz, o erro ao truncar uma série alternada com termos positivos decrescentes é no máximo o módulo do primeiro termo omitido. No nosso caso, truncamos após o termo k=3 (que corresponde a x^{6}), então o primeiro termo omitido é o de k=4 (que corresponde a x^{8}). Portanto
|R_{6}(2)|\le \frac{2^{8}}{8!}.
Calcular essa fração:
\frac{2^{8}}{8!}=\frac{256}{40320}=\frac{2}{315}\approx 0{,}0063492\ldots
Essa é uma cota mais forte (menor) que a cota obtida por Lagrange. Logo uma boa cota superior do erro é
| \cos 2 - T_{6}(2) | \le \frac{2}{315}.

Passo 6

Resumo final e encorajamento: a aproximação com o polinômio de grau 6 é simples de calcular e a cota de erro pode ser obtida por Lagrange (cota geral) ou refinada pelo teste da série alternada (mais precisa aqui). Fica a dica: quando a série alterna e os termos decrescem, use Leibniz — costuma dar cotas bem melhores.

Resposta

\;T_{6}(2)=-\dfrac{19}{45}\approx -0{,}422222\ldots\n
\;|\,\cos 2 - T_{6}(2)\,|\le \dfrac{2}{315}\approx 0{,}0063492

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