Exercício 1.22. Expandir as seguintes funções em série de potências ao redor do ponto a dado:
f(x)=\frac{5}{x^{2}+7 x+6} ao redor do ponto a=2.

Passo 1

O enunciado pede: expandir em série de potências ao redor do ponto a=2 a função
f(x)=\frac{5}{x^{2}+7x+6}.
Informações dadas e relevantes:
  • A função é f(x)=\dfrac{5}{x^{2}+7x+6}.
  • O ponto em torno do qual queremos a série é a=2.
  • A expansão pedida deve ser uma série em potências de (x-2).
  • Não há figura ou dados adicionais.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática e razão): vamos
  1. fatorar o denominador para identificar polos/singularidades e para fazer decomposição em frações parciais — isso facilita escrever a função como soma de termos simples;
  2. escrever cada termo simples em função de h:=x-2 (ou seja, em torno de a=2);
  3. usar a série geométrica para expandir cada termo como soma de potências de h;
  4. somar as séries termo a termo e determinar o raio de convergência (a partir da distância ao polo mais próximo).
Esse método é o mais direto para obter uma série de potências explícita em torno de um ponto que não é raiz do denominador.

Passo 3

Fatorar o denominador e fazer a decomposição em frações parciais.
Fatorando:
x^{2}+7x+6=(x+1)(x+6).
Logo podemos escrever
\frac{5}{x^{2}+7x+6}=\frac{5}{(x+1)(x+6)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{5}{(x+1)(x+6)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+6}.
Multiplicando por (x+1)(x+6) obtemos
5 = A(x+6)+B(x+1).
Para encontrar A e B substitui-se convenientemente x=-1 e x=-6:
  • Para x=-1: 5 = A(5)\Rightarrow A=1.
  • Para x=-6: 5 = B(-5)\Rightarrow B=-1.
Portanto
\frac{5}{(x+1)(x+6)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+6}.

Passo 4

Passar cada termo para uma forma que permita usar a série geométrica em potências de h:=x-2.
Defina h:=x-2. Então
x+1 = (x-2)+3 = h+3, \qquad x+6 = (x-2)+8 = h+8.
Assim
\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3+h}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{h}{3}},
\frac{1}{x+6}=\frac{1}{8+h}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{h}{8}}.
Agora a série geométrica (lembrando a fórmula e quando ela vale): para |u|<1,
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
(Proof rápida: multiplicando ambos os lados por 1+u e reconhecendo a soma telescópica ou derivando da série de Taylor de \ln e exponenciais — aqui usamos a identidade padrão.)
Aplicaremos essa fórmula com u=\dfrac{h}{3} e u=\dfrac{h}{8}, que exigem |h|<3 e |h|<8, respectivamente.

Passo 5

Expandir cada termo com a série geométrica.
Para \dfrac{1}{x+1}:
\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{h}{3}} =\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{h}{3}\right)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{h^{n}}{3^{\,n+1}}.
Para \dfrac{1}{x+6}:
\frac{1}{x+6}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{h}{8}} =\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{h}{8}\right)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{h^{n}}{8^{\,n+1}}.

Passo 6

Subtrair as duas séries para obter a série de f(x) em potências de h=x-2.
Como f(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+6}, temos termo a termo:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{3^{\,n+1}}-\frac{1}{8^{\,n+1}}\right)h^{n},
ou seja, substituindo h=x-2,
\boxed{\,f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{3^{\,n+1}}-\frac{1}{8^{\,n+1}}\right)(x-2)^{n}\, }.
Vamos escrever os primeiros termos explícitos (útil para conferir em prova):
  • Para n=0: coeficiente \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{24}.
  • Para n=1: coeficiente -\!\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{64}\right)=-\dfrac{55}{576}.
  • Para n=2: coeficiente +\!\left(\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{512}\right)=\dfrac{485}{13824}.
Portanto os primeiros termos são
f(x)=\frac{5}{24}-\frac{55}{576}(x-2)+\frac{485}{13824}(x-2)^{2}+\cdots.

Passo 7

Determinar o raio de convergência (explicação do porquê).
A série para \dfrac{1}{x+1} exige |h|<3 porque usamos u=\dfrac{h}{3} com |u|<1. A série para \dfrac{1}{x+6} exige |h|<8. Para que ambas as séries (e portanto a série resultante) convirjam simultaneamente precisamos da interseção: |h|<3.
Geometricamente isso corresponde à distância do ponto a=2 até a singularidade mais próxima da função. As singularidades são x=-1 e x=-6; as distâncias são |2-(-1)|=3 e |2-(-6)|=8. O raio de convergência é a menor dessas distâncias, isto é, R=3.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{3^{\,n+1}}-\frac{1}{8^{\,n+1}}\right)(x-2)^{n},\qquad |x-2|<3

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