Exercício 1.22. Expandir as seguintes funções em série de potências ao redor do ponto a dado:
ao redor do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: expandir em série de potências ao redor do ponto
a função
Informações dadas e relevantes:
- A função é
. - O ponto em torno do qual queremos a série é
. - A expansão pedida deve ser uma série em potências de
. - Não há figura ou dados adicionais.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e razão): vamos
- fatorar o denominador para identificar polos/singularidades e para fazer decomposição em frações parciais — isso facilita escrever a função como soma de termos simples;
- escrever cada termo simples em função de
(ou seja, em torno de ); - usar a série geométrica para expandir cada termo como soma de potências de
; - somar as séries termo a termo e determinar o raio de convergência (a partir da distância ao polo mais próximo).
Esse método é o mais direto para obter uma série de potências explícita em torno de um ponto que não é raiz do denominador.
Passo 3
Fatorar o denominador e fazer a decomposição em frações parciais.
Fatorando:
Logo podemos escrever
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Para encontrar
e
substitui-se convenientemente
e
:
- Para
: . - Para
: .
Portanto
Passo 4
Passar cada termo para uma forma que permita usar a série geométrica em potências de
.
Defina
. Então
Assim
Agora a série geométrica (lembrando a fórmula e quando ela vale): para
,
(Proof rápida: multiplicando ambos os lados por
e reconhecendo a soma telescópica ou derivando da série de Taylor de
e exponenciais — aqui usamos a identidade padrão.)
Aplicaremos essa fórmula com
e
, que exigem
e
, respectivamente.
Passo 5
Expandir cada termo com a série geométrica.
Para
:
Para
:
Passo 6
Subtrair as duas séries para obter a série de
em potências de
.
Como
, temos termo a termo:
ou seja, substituindo
,
Vamos escrever os primeiros termos explícitos (útil para conferir em prova):
- Para
: coeficiente . - Para
: coeficiente . - Para
: coeficiente .
Portanto os primeiros termos são
Passo 7
Determinar o raio de convergência (explicação do porquê).
A série para
exige
porque usamos
com
. A série para
exige
. Para que ambas as séries (e portanto a série resultante) convirjam simultaneamente precisamos da interseção:
.
Geometricamente isso corresponde à distância do ponto
até a singularidade mais próxima da função. As singularidades são
e
; as distâncias são
e
. O raio de convergência é a menor dessas distâncias, isto é,
.