Considere o PVI:
y^{\prime}=2 y-3 t ; y(0)=3
Ache y(0,3) pelo Método de Euler explícito com h=0,05.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y' = 2y - 3t,\quad y(0)=3
e pede a aproximação de y(0,3) usando o método de Euler explícito com passo h=0,05.

Passo 2

Definimos
h = 0,05,\quad t_0 = 0,\quad y_0 = 3,\quad f(t,y) = 2y - 3t,
e o número de passos
N = \frac{0,3 - 0}{0,05} = 6.
A regra de Euler explícito é
t_{n+1} = t_n + h,\quad y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n).

Passo 3

Iterando de n=0 a n=3:
n =0: t_0=0, y_0=3.
n =1: t_1 = 0 + 0,05 = 0,05
y_1 = 3 + 0,05\,(2\cdot3 - 3\cdot0) = 3 + 0,05\times6 = 3,3.
n =2: t_2 = 0,05 + 0,05 = 0,1
y_2 = 3,3 + 0,05\,(2\cdot3,3 - 3\cdot0,05) = 3,3 + 0,05\times6,45 = 3,6225.
n =3: t_3 = 0,1 + 0,05 = 0,15
y_3 = 3,6225 + 0,05\,(2\cdot3,6225 - 3\cdot0,1) = 3,6225 + 0,05\times6,945 = 3,96975.

Passo 4

Continuando de n=3 a n=6:
n =4: t_4 = 0,15 + 0,05 = 0,2
y_4 = 3,96975 + 0,05\,(2\cdot3,96975 - 3\cdot0,15) = 3,96975 + 0,05\times7,4895 = 4,344225.
n =5: t_5 = 0,2 + 0,05 = 0,25
y_5 = 4,344225 + 0,05\,(2\cdot4,344225 - 3\cdot0,2) = 4,344225 + 0,05\times8,08845 = 4,7486475.
n =6: t_6 = 0,25 + 0,05 = 0,3
y_6 = 4,7486475 + 0,05\,(2\cdot4,7486475 - 3\cdot0,25) = 4,7486475 + 0,05\times8,747295 = 5,18601225.

Resposta

y(0,3)\approx 5,1860

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