Exercício 4 - Aplique o método de Bisseção para resolver a equação
x^3+cos (x)=0
a) Utilize o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para determinar os extremos do intervalo inicial [a, b] e verifique que a raiz é única nesse intervalo.
b) Encontre barx com precisão varepsilon=0,01.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, via método da bisseção, a raiz de
f(x)=x^3+cos(x)=0
no intervalo [a,b], usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência e unicidade, e depois aproximar essa raiz com precisão varepsilon=0,01.

Passo 2

Para aplicar o TVI, escolhemos inicialmente a=-1 e b=0. Calculamos
f(-1)=(-1)^3+cos(-1)=-1+cos(1)approx -1+0,5403=-0,4597<0,
f(0)=0^3+cos(0)=1>0
Como f(a)cdot f(b)<0, existe pelo menos uma raiz em [-1,0].
Para ver que ela é única, examinamos a derivada
f'(x)=3x^2-sin(x)
Em xin[-1,0], temos 3x^2>=0 e -sin(x)>=0, logo f'(x)>0. Portanto f é estritamente crescente e só pode cruzar o zero uma única vez em [-1,0].

Passo 3

O erro máximo em n iterações da bisseção vale
b-a2^n<=varepsilonLongrightarrow2^n>=1-00,01=100
Como 2^6=64<100 e 2^7=128>100, precisamos de n=7 iterações para garantir b-a2^n<=0,01.

Passo 4

Aplicando 7 iterações de bisseção em :
Após 7 iterações, o intervalo é e o ponto médio
satisfaz .

Resposta

barxapprox -0,8633 (com erro menor que 0,01).

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