Encontre as soluções fundamentais
(somente as fundamentais!), apenas para
, da equação de Laplace no retângulo
, que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
Resumo do enunciado e método
Temos a equação de Laplace
Temos a equação de Laplace
no retângulo
, sujeita às condições de contorno de Neumann
e
.
Vamos buscar soluções separáveis da forma com constante de separação
.
Vamos buscar soluções separáveis da forma
Passo 2
Equação e autovalores em
Substituindo em e dividindo por
obtemos
Substituindo em
isto é
com as condições
e
. Essas condições de Neumann em
só são satisfeitas por
(para
teríamos a solução constante trivial, que aqui não interessa pois buscamos
).
Passo 3
Equação em
e condição em
Para cada , a parte em
satisfaz
Para cada
cuja solução geral é
A condição de contorno
implica
, ou seja
Logo
Passo 4
Soluções fundamentais
Juntando e
obtemos as soluções separáveis (fundamentais) para
:
Juntando
Elas formam a base de modos que permite então ajustar a condição não-homogênea em
por superposição.
Resposta
As soluções fundamentais para
são