Encontre as soluções fundamentais un(x, y) (somente as fundamentais!), apenas para lambda>0, da equação de Laplace no retângulo 0<x<1,0<y<1, que satisfaz as condições de contorno
ccc ux(0, y)=0, & ux(1, y)=sen(pi y), & 0<y<1 ; uy(x, 0)=0, & uy(x, 1)=0, & 0<x<1

Passo 1

Resumo do enunciado e método
Temos a equação de Laplace
uxx+uyy=0,
no retângulo 0<x<1,;0<y<1, sujeita às condições de contorno de Neumann
;ux(0,y)=0,;ux(1,y)=sen(pi y) e
;uy(x,0)=0,;uy(x,1)=0.
Vamos buscar soluções separáveis da forma ,u(x,y)=X(x),Y(y) com constante de separação lambda>0.

Passo 2

Equação e autovalores em y
Substituindo em uxx+uyy=0 e dividindo por XY obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0 ;Longrightarrow; Y''(y)Y(y) = -lambda,
isto é
Y''(y) + lambda,Y(y) = 0,
com as condições Y'(0)=0 e Y'(1)=0. Essas condições de Neumann em y só são satisfeitas por
lambdan = (npi)^2, Yn(y) = cos(npi y), n=1,2,3,dots
(para n=0 teríamos a solução constante trivial, que aqui não interessa pois buscamos lambda>0).

Passo 3

Equação em x e condição em x=0
Para cada lambdan=(npi)^2, a parte em x satisfaz
X''(x) - (npi)^2,X(x) = 0,
cuja solução geral é
Xn(x) = Ancosh(npi x) + Bnsinh(npi x)
A condição de contorno ux(0,y)=0 implica Xn'(0)=0, ou seja
Xn'(0)=An,npisinh(0)+Bn,npicosh(0)=Bn,npi=0 ;Longrightarrow; Bn=0
Logo
Xn(x)=Ancosh(npi x)

Passo 4

Soluções fundamentais
Juntando Xn e Yn obtemos as soluções separáveis (fundamentais) para lambdan>0:
un(x,y) = cosh(npi x),cos(npi y), n=1,2,3,dots
Elas formam a base de modos que permite então ajustar a condição não-homogênea em x=1 por superposição.

Resposta

As soluções fundamentais para lambda>0 são
un(x,y)=coshl(npi xr),cosl(npi yr), n=1,2,3,dots

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