Exercício 3 - Seja f(x)=x^3-9 x+3. Dado que o intervalo inicial é I=[0,1], encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo método da falsa posição, com precisão varepsilon=10^-4.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x)=x^3-9x+3
no intervalo I=[0,1] usando o método da falsa posição (regula falsi) com precisão varepsilon=10^-4. O conteúdo envolvido é o método de posição falsa, que combina as avaliações de f em dois pontos para estimar a raiz e mantém sempre um intervalo onde f muda de sinal.

Passo 2

Primeiro verificamos que
f(0)=3>0, f(1)=1-9+3=-5<0,
logo há mudança de sinal em [0,1] e existe uma raiz aí. A cada iteração definimos
c = a,f(b) - b,f(a)f(b)-f(a),
avaliamos f(c) e escolhemos o subintervalo [a,c] ou [c,b] onde ocorre mudança de sinal, repetindo até lvert f(c)rvert<varepsilon.

Passo 3

Aplicamos o esquema abaixo até lvert f(ck)rvert<10^-4:
ck = ak-1,f(bk-1) - bk-1,f(ak-1)f(bk-1)-f(ak-1),
se f(ck),f(ak-1)>0 então ak=ck, bk=bk-1, senão ak=ak-1, bk=ck.
Realizando as iterações:
Iteração 1:
a0=0,;b0=1,;f(a0)=3,;f(b0)=-5,
c1 = 0cdot(-5) - 1cdot3-5-3 = 0.375, f(c1)=0.375^3 -9cdot0.375 +3 approx -0.3223<0
como f(c1) e f(b0) têm mesmo sinal, atualizamos b1=0.375, a1=0.
Iteração 2:
f(a1)=3,;f(b1)approx -0.3223,
c2 = 0cdot(-0.3223) - 0.375cdot3-0.3223-3 approx 0.33845, f(c2)approx -0.00727<0
atualizamos b2=0.33845, a2=0.
Iteração 3:
f(b2)approx -0.00727,
c3 = -0.33845cdot3-0.00727-3 approx 0.33776, f(c3)approx -0.00123<0
atualizamos b3=0.33776, a3=0.
Iteração 4:
f(b3)approx -0.00123,
c4 = -0.33776cdot3-0.00123-3 approx 0.33771, f(c4)approx -0.00017<0
atualizamos b4=0.33771, a4=0.
Iteração 5:
f(b4)approx -0.00017,
c5 = -0.33771cdot3-0.00017-3 approx 0.33770, f(c5)approx -2,3times10^-5,
e como lvert f(c5)rvertapprox2,3times10^-5<10^-4, paramos.

Resposta

A raiz aproximada em [0,1] pelo método da falsa posição com varepsilon=10^-4 é
x approx 0.33770

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