Seja a seguinte tabela referente à uma função
:
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.67
0.82
1.00
1.22
1.49
Calcule
usando polinômio de Newton de grau 3.
|
|
-0.4 | -0.2 | 0 | 0.2 | 0.4 |
|
|
0.67 | 0.82 | 1.00 | 1.22 | 1.49 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pede: Calcular
usando o polinômio de Newton de grau . - Tabela fornecida (valores pegos da tabela do enunciado):
-
, -
, -
, -
, -
,
-
Observação importante (do enunciado): usar grau
significa interpolar com um polinômio de grau
construído a partir de quatro pontos da tabela.
Passo 2
Escolha dos nós para construir o polinômio de grau
.
- Como queremos estimar
, é prudente escolher quatro pontos da tabela mais próximos de para obter uma boa aproximação. Os quatro nós mais próximos são , , e . - Vou ordenar esses nós em ordem crescente e tomá-los como
, , , com valores correspondentes , , , .
Passo 3
O método: polinômio de Newton via diferenças divididas — ideia e fórmula.
- Ideia: o polinômio de Newton de grau
construído sobre nós tem a forma
- Aqui
é a diferença dividida sobre os nós . Ela é calculada recursivamente por
- Vou calcular essas diferenças divididas passo a passo com os quatro nós escolhidos.
Passo 4
Calcular as primeiras diferenças divididas (entre pares adjacentes).
Usando os nós
,
,
,
e os
dados:
Passo 5
Calcular as segundas diferenças divididas (usando os resultados do passo anterior).
Passo 6
Calcular a terceira diferença dividida (última necessária para grau 3).
-
. - Calculando:
(que é ).
Passo 7
Escrever o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados.
- Substituindo os coeficientes na forma de Newton:
(Aqui usei
, então
; e
,
.)
Passo 8
Avaliar
em
passo a passo (calculemos os fatores e os termos).
-
Calcular os fatores simples:
-
-
Agora cada termo do polinômio:
- Termo constante:
- Termo linear:
- Termo quadrático:
- Termo cúbico:
- Termo constante:
Passo 9
Somar os termos para obter
.
- Soma:
- Calculando passo a passo:
-