Seja a seguinte tabela referente à uma função f :
x -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
f(x) 0.67 0.82 1.00 1.22 1.49
Calcule f(0.1) usando polinômio de Newton de grau 3.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede: Calcular f(0,1) usando o polinômio de Newton de grau 3.
  • Tabela fornecida (valores pegos da tabela do enunciado):
    • x=-0,4, f(x)=0,67
    • x=-0,2, f(x)=0,82
    • x=0, f(x)=1,00
    • x=0,2, f(x)=1,22
    • x=0,4, f(x)=1,49
Observação importante (do enunciado): usar grau 3 significa interpolar com um polinômio de grau 3 construído a partir de quatro pontos da tabela.

Passo 2

Escolha dos nós para construir o polinômio de grau 3.
  • Como queremos estimar f(0,1), é prudente escolher quatro pontos da tabela mais próximos de x=0,1 para obter uma boa aproximação. Os quatro nós mais próximos são x=-0,2, x=0, x=0,2 e x=0,4.
  • Vou ordenar esses nós em ordem crescente e tomá-los como x_0=-0,2, x_1=0, x_2=0,2, x_3=0,4 com valores correspondentes f(x_0)=0,82, f(x_1)=1,00, f(x_2)=1,22, f(x_3)=1,49.

Passo 3

O método: polinômio de Newton via diferenças divididas — ideia e fórmula.
  • Ideia: o polinômio de Newton de grau 3 construído sobre nós x_0,x_1,x_2,x_3 tem a forma
P_3(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
  • Aqui f[x_i,\dots,x_j] é a diferença dividida sobre os nós x_i,\dots,x_j. Ela é calculada recursivamente por
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i},
f[x_i,\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
  • Vou calcular essas diferenças divididas passo a passo com os quatro nós escolhidos.

Passo 4

Calcular as primeiras diferenças divididas (entre pares adjacentes).
Usando os nós x_0=-0,2, x_1=0, x_2=0,2, x_3=0,4 e os f dados:
  • f[x_0,x_1]=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\dfrac{1,00-0,82}{0-(-0,2)}=\dfrac{0,18}{0,2}=0,9.
  • f[x_1,x_2]=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{1,22-1,00}{0,2-0}=\dfrac{0,22}{0,2}=1,1.
  • f[x_2,x_3]=\dfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=\dfrac{1,49-1,22}{0,4-0,2}=\dfrac{0,27}{0,2}=1,35.

Passo 5

Calcular as segundas diferenças divididas (usando os resultados do passo anterior).
  • f[x_0,x_1,x_2]=\dfrac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\dfrac{1,1-0,9}{0,2-(-0,2)}=\dfrac{0,2}{0,4}=0,5.
  • f[x_1,x_2,x_3]=\dfrac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\dfrac{1,35-1,1}{0,4-0}=\dfrac{0,25}{0,4}=0,625.

Passo 6

Calcular a terceira diferença dividida (última necessária para grau 3).
  • f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\dfrac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}=\dfrac{0,625-0,5}{0,4-(-0,2)}=\dfrac{0,125}{0,6}.
  • Calculando: \dfrac{0,125}{0,6}=0,208333\ldots (que é 0,125/0,6).

Passo 7

Escrever o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados.
  • Substituindo os coeficientes na forma de Newton:
P_3(x)=0,82+0,9(x+0,2)+0,5(x+0,2)(x-0)+0,208333\ldots\,(x+0,2)(x-0)(x-0,2).
(Aqui usei x_0=-0,2, então x-x_0=x+0,2; e x_1=0, x_2=0,2.)

Passo 8

Avaliar P_3 em x=0,1 passo a passo (calculemos os fatores e os termos).
  • Calcular os fatores simples:
    • x-x_0=0,1-(-0,2)=0,3.
    • x-x_1=0,1-0=0,1.
    • x-x_2=0,1-0,2=-0,1.
  • Agora cada termo do polinômio:
    • Termo constante: 0,82.
    • Termo linear: 0,9\cdot 0,3=0,27.
    • Termo quadrático: 0,5\cdot 0,3\cdot 0,1=0,5\cdot 0,03=0,015.
    • Termo cúbico: 0,208333\ldots\cdot 0,3\cdot 0,1\cdot(-0,1)=0,208333\ldots\cdot(-0,003)=-0,000625.

Passo 9

Somar os termos para obter P_3(0,1).
  • Soma: P_3(0,1)=0,82+0,27+0,015-0,000625.
  • Calculando passo a passo:
    • 0,82+0,27=1,09.
    • 1,09+0,015=1,105.
    • 1,105-0,000625=1,104375.

Resposta

1,104375

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