Exercício 1. Para calcular a profundidade
de um canal aberto, com inclinação
, vazão
, largura
e coeficiente de Manning
, usamos a equação:
Nesse caso,
é equivalente a
.
Mostre que existe um único
tal que
e
.
Mostre que existe um único
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema pede. A função é
e precisamos mostrar que, no intervalo
, existe exatamente um
tal que
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raiz quando a função muda de sinal.
- Derivada para estudar monotonicidade e garantir unicidade da raiz.
Passo 2
Primeiro, veja que
é um polinômio (bem, uma combinação de potências de
), logo é contínua em todo lugar, especialmente em
.
-calculamos :
-calculamos
-calculamos
:
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
com
.
Passo 3
Agora precisamos garantir que esse zero seja único. Para isso, vamos olhar a derivada
- Note que
é contínua e em temos
ou seja,
desce no começo.
2) Existe um ponto crítico onde :
2) Existe um ponto crítico onde
Para
,
, ou seja,
começa a subir após
.
3) Esse comportamento (descer até , depois subir) faz de
um mínimo local. Vamos checar que, mesmo nesse mínimo,
ainda é negativo:
3) Esse comportamento (descer até
Então a função sai de
em
, desce mais um pouco até esse mínimo negativo, e depois sobe até ficar positiva em
. Não tem como ela voltar a cortar o zero mais de uma vez, porque só há um vale e depois subida contínua.
Resposta
Pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
. Como
tem apenas um mínimo local (abaixo de zero) e depois cresce sem parar, ela cruza o eixo
-zero exatamente uma vez. Logo, existe um único
tal que
.