Exercício 1. Para calcular a profundidade H de um canal aberto, com inclinação S=0.0002, vazão Q=5 m^3 / s, largura B=20 m e coeficiente de Manning n=0.03, usamos a equação:
f(H)=raizSn (BH)^(5 / 3)(B+2 H)^(2 / 3)-Q=0
Nesse caso, f(H)=0 é equivalente a g(H)=25,89289449 H^(5 / 2)-H-10=0.
Mostre que existe um único H>0 tal que g(H)=0 e H in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema pede. A função é
g(H) ;=; 25,89289449,H^5/2;-;H;-;10,
e precisamos mostrar que, no intervalo , existe exatamente um tal que .
Conteúdo envolvido:
  • Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raiz quando a função muda de sinal.
  • Derivada para estudar monotonicidade e garantir unicidade da raiz.

Passo 2

Primeiro, veja que g(0)=25,89289449cdot 0^5/2-0-10=-10<0 é um polinômio (bem, uma combinação de potências de g(1)=25,89289449cdot1^5/2-1-10 =25,89289449-11=14,89289449>0 ), logo é contínua em todo lugar, especialmente em .
-calculamos :
-calculamos :
Como e , pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um com .

Passo 3

Agora precisamos garantir que esse zero seja único. Para isso, vamos olhar a derivada
g'(H) =ddHl(25,89289449,H^5/2-H-10r) =25,89289449cdot52,H^3/2;-;1 ;=;64,732236225,H^3/2-1
  1. Note que g'(0)=64,732236225cdot0^3/2-1=-1<0, é contínua e em 64,732236225,H^3/2=1 Longrightarrow H0=l(tfrac164,732236225r)^2/3approx0,062 temos
g(H0)approx25,89289449,(0,062)^5/2-0,062-10approx -10,04<0
ou seja, desce no começo.
2) Existe um ponto crítico onde :
Para , , ou seja, começa a subir após .
3) Esse comportamento (descer até , depois subir) faz de um mínimo local. Vamos checar que, mesmo nesse mínimo, ainda é negativo:
Então a função sai de em , desce mais um pouco até esse mínimo negativo, e depois sobe até ficar positiva em . Não tem como ela voltar a cortar o zero mais de uma vez, porque só há um vale e depois subida contínua.

Resposta

Pelo TVI existe pelo menos uma raiz em . Como tem apenas um mínimo local (abaixo de zero) e depois cresce sem parar, ela cruza o eixo -zero exatamente uma vez. Logo, existe um único tal que .

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