Exercício 1. Para calcular a profundidade H de um canal aberto, com inclinação S=0.0002, vazão Q=5 m^3 / s, largura B=20 m e coeficiente de Manning n=0.03, usamos a equação:
f(H)=raizSn (BH)^(5 / 3)(B+2 H)^(2 / 3)-Q=0
Nesse caso, f(H)=0 é equivalente a g(H)=25,89289449 H^(5 / 2)-H-10=0.
Faça dois refinamentos do intervalo I usando o Método da Bisseção.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar:
– Temos a função
g(H)=25,89289449,H^5/2-H-10
e queremos achar tal que .
– O método que vamos usar é o Método da Bisseção, que serve pra encontrar raiz de função contínua quando a gente sabe que em dois pontos e a função tem sinais opostos (teorema do valor intermediário).
– Preciso de:
  1. Um intervalo inicial com .
  2. Gerar o ponto médio .
  3. Escolher o subintervalo onde o sinal de muda (ou seja, onde muda de positivo pra negativo ou vice-versa).
  4. Repetir duas vezes pra fazer dois refinamentos.

Passo 2

  1. Escolher intervalo inicial:
    – Testo g(0)=25,89289449cdot0^5/2-0-10=-10<0 : g(2)=25,89289449cdot2^2,5-2-10 =25,89289449cdot5,656854-12approx134,5>0 – Testo c1=0+22=1 : g(1)=25,89289449cdot1^5/2-1-10=25,89289449-11approx14,8929>0 Como e , temos sinal trocado em .
  2. Primeiro refinamento:
    – Calcula o ponto médio – Avalia : – Como e , o zero fica em .

Passo 3

Segundo refinamento sobre c2=0+12=0,5 :
– Ponto médio
g(0,5) =25,89289449cdot(0,5)^5/2-0,5-10 =25,89289449cdot0,1767767-10,5 approx4,58-10,5=-5,92<0
– Avalia :
– Agora e , então o zero está em .

Resposta

Após dois refinamentos pelo Método da Bisseção, o intervalo que contém a raiz é
[0,5,;1,0]

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