Exercício 2. Dado o sistema linear Ax=b, onde e ,
Note que o critério das linhas não é satisfeito. Podemos afirmar que o Método de Jacobi é divergente?

Passo 1

Beleza, vamos por partes. A questão diz que temos o sistema
A x = b,
com
A = -2 & 1 & 0[6pt] 1 & -2 & 1[6pt] 0 & 1 & -2 , b = -10-1
O assunto é Método de Jacobi e convergência de métodos iterativos. Para decidir se Jacobi diverge ou não, a gente vai precisar:
  1. Separar em .
  2. Montar a matriz de iteração .
  3. Calcular o raio espectral (que é o maior valor absoluto dos autovalores de ).
  4. Aplicar o teorema: Jacobi converge se, e só se, .

Passo 2

Primeiro, décomposição de D = -2&0&0[3pt]0&-2&0[3pt]0&0&-2, L = 0&0&0[3pt]1&0&0[3pt]0&1&0, U = 0&1&0[3pt]0&0&1[3pt]0&0&0 :
x^(k+1) = -D^-1(L+U),x^(k) ;+; D^-1b
No Método de Jacobi a iteração é
B = -D^-1(L+U)
A matriz de iteração é, então,

Passo 3

Vamos achar D^-1 = -tfrac12&0&0[3pt]0&-tfrac12&0[3pt]0&0&-tfrac12, . Como
L + U = 0&1&0 1&0&1 0&1&0
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B = -D^-1(L+U) = --tfrac12&0&0[3pt]0&-tfrac12&0[3pt]0&0&-tfrac12 0&1&0 1&0&1 0&1&0 = tfrac12 0&1&0 1&0&1 0&1&0
Multiplicando e lembrando do sinal “–”,

Passo 4

Agora precisamos do raio espectral 0&1&01&0&10&1&0. A teoria diz que, para a matriz
B = tfrac12,T,
os autovalores são rho(B) = max|tfracraiz22|,,0 = tfracraiz22 approx 0,707 < 1 , , . Como
os autovalores de são , , e .
Então

Passo 5

Pelo teorema de convergência do Método de Jacobi, se , então Jacobi converge. Aqui achamos , que é menor que 1.

Resposta

Não, não podemos afirmar que Jacobi é divergente. Na verdade , logo o Método de Jacobi é convergente para esse sistema.

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