Exercício 1. Considere x_{n}=2,135 e x_{n+1}=2,140.
  1. Calcule o erro absoluto.
  2. Calcule o erro relativo.
  3. Verifique se o critério de parada é satisfeito para \epsilon=0,005.

Passo 1

O enunciado dá os dois valores aproximados consecutivos:
  • x_{n}=2,135
  • x_{n+1}=2,140
O que é pedido:
  1. Calcular o erro absoluto entre essas duas aproximações.
  2. Calcular o erro relativo (aproximado) entre essas duas aproximações.
  3. Verificar se o critério de parada é satisfeito para \epsilon=0,005.

Passo 2

Definição e cálculo do erro absoluto.
  • Definição: o erro absoluto entre duas aproximações é a diferença em módulo entre elas. A fórmula que vamos usar é
e_{\text{abs}}=\left|x_{n+1}-x_{n}\right|.
Aqui x_{n} e x_{n+1} são os valores dados; o símbolo |\cdot| significa “valor absoluto” (distância sem sinal).
  • Cálculo passo a passo:
e_{\text{abs}}=\left|2,140-2,135\right|=\left|0,005\right|=0,005.
Interpretação rápida: e_{\text{abs}}=0,005 é a diferença entre as duas iterações — dá a ideia de quanto o valor mudou.

Passo 3

Definição e cálculo do erro relativo (aproximado).
  • Por que “aproximado”? Porque o erro relativo idealmente usa o valor exato (verdadeiro), que não conhecemos. Quando isso ocorre, é comum usar o erro relativo entre iterações como estimativa:
e_{\text{rel}}=\frac{\left|x_{n+1}-x_{n}\right|}{\left|x_{n+1}\right|}.
Aqui e_{\text{rel}} é a fração do erro absoluto em relação ao tamanho da aproximação atual x_{n+1}. Essa é uma medida adimensional (sem unidade) que indica a ordem de grandeza do erro em relação ao valor.
  • Substituindo os números:
e_{\text{rel}}=\frac{0,005}{2,140}.
Para simplificar sem calculadora, multiplica-se numerador e denominador por 1000:
\frac{0,005}{2,140}=\frac{5}{2140}=\frac{1}{428}.
Agora uma aproximação decimal de \dfrac{1}{428} pode ser obtida por divisão longa ou por aproximação:
\frac{1}{428}\approx0,002336\ldots
Arredondando de forma razoável:
e_{\text{rel}}\approx0,002336\approx0,2336\%.
Explicação intuitiva: o erro absoluto 0,005 equivale a cerca de 0,2336\% do valor 2,140 — bem pequeno.

Passo 4

Verificação do critério de parada para \epsilon=0,005.
  • Primeiro, precisamos esclarecer o que se entende por “critério de parada”. Os dois critérios mais comuns são:
    1. Critério absoluto: parar se \left|x_{n+1}-x_n\right|<\epsilon.
    2. Critério relativo: parar se \dfrac{\left|x_{n+1}-x_n\right|}{\left|x_{n+1}\right|}<\epsilon.
  • Vamos testar ambos, pois o enunciado não especificou qual usar.
Teste do critério absoluto:
\left|x_{n+1}-x_n\right|=0,005.
Comparando com \epsilon=0,005:
  • Se o critério exigir estritamente “<\epsilon” (menor estrito), então 0,005<0,005 é falso, ou seja, o critério NÃO é satisfeito.
  • Se o critério permitir “ \le\epsilon” (menor ou igual), então 0,005\le0,005 é verdadeiro, ou seja, o critério SERIA satisfeito. Muitos enunciados especificam <, outros aceitam \le; é preciso atenção ao que o professor definiu.
Teste do critério relativo:
\frac{\left|x_{n+1}-x_n\right|}{\left|x_{n+1}\right|}=e_{\text{rel}}\approx0,002336.
Comparando com \epsilon=0,005:
0,002336<0,005,
portanto o critério relativo é satisfeito (com folga).

Passo 5

Resumo interpretativo final (para você saber o que dizer na prova):
  • O erro absoluto entre as iterações é exatamente 0,005.
  • O erro relativo aproximado é \approx0,002336 (ou \approx0,2336\%).
  • Sobre o critério de parada com \epsilon=0,005:
    • Para o critério absoluto com desigualdade estrita \left|x_{n+1}-x_n\right|<\epsilon: não satisfeito (é igual).
    • Para o critério absoluto com desigualdade não estrita \left|x_{n+1}-x_n\right|\le\epsilon: satisfeito.
    • Para o critério relativo \dfrac{\left|x_{n+1}-x_n\right|}{\left|x_{n+1}\right|}<\epsilon: satisfeito.

Resposta

e_{\text{abs}}=0,005
e_{\text{rel}}\approx0,002336\\ (\approx0,2336\%)
Critério de parada: critério absoluto com <\epsilon\Rightarrow não; critério absoluto com \le\epsilon\Rightarrow sim; critério relativo \Rightarrow sim.

Exercícios relacionados