Exercício 1. Considere
e
.
- Calcule o erro absoluto.
- Calcule o erro relativo.
- Verifique se o critério de parada é satisfeito para
.
Passo 1
O enunciado dá os dois valores aproximados consecutivos:
O que é pedido:
- Calcular o erro absoluto entre essas duas aproximações.
- Calcular o erro relativo (aproximado) entre essas duas aproximações.
- Verificar se o critério de parada é satisfeito para
.
Passo 2
Definição e cálculo do erro absoluto.
- Definição: o erro absoluto entre duas aproximações é a diferença em módulo entre elas. A fórmula que vamos usar é
Aqui
e
são os valores dados; o símbolo
significa “valor absoluto” (distância sem sinal).
- Cálculo passo a passo:
Interpretação rápida:
é a diferença entre as duas iterações — dá a ideia de quanto o valor mudou.
Passo 3
Definição e cálculo do erro relativo (aproximado).
- Por que “aproximado”? Porque o erro relativo idealmente usa o valor exato (verdadeiro), que não conhecemos. Quando isso ocorre, é comum usar o erro relativo entre iterações como estimativa:
Aqui
é a fração do erro absoluto em relação ao tamanho da aproximação atual
. Essa é uma medida adimensional (sem unidade) que indica a ordem de grandeza do erro em relação ao valor.
- Substituindo os números:
Para simplificar sem calculadora, multiplica-se numerador e denominador por
:
Agora uma aproximação decimal de
pode ser obtida por divisão longa ou por aproximação:
Arredondando de forma razoável:
Explicação intuitiva: o erro absoluto
equivale a cerca de
do valor
— bem pequeno.
Passo 4
Verificação do critério de parada para
.
-
Primeiro, precisamos esclarecer o que se entende por “critério de parada”. Os dois critérios mais comuns são:
- Critério absoluto: parar se
. - Critério relativo: parar se
.
- Critério absoluto: parar se
-
Vamos testar ambos, pois o enunciado não especificou qual usar.
Teste do critério absoluto:
Comparando com
:
- Se o critério exigir estritamente “<\epsilon” (menor estrito), então
é falso, ou seja, o critério NÃO é satisfeito. - Se o critério permitir “
” (menor ou igual), então é verdadeiro, ou seja, o critério SERIA satisfeito. Muitos enunciados especificam , outros aceitam ; é preciso atenção ao que o professor definiu.
Teste do critério relativo:
Comparando com
:
portanto o critério relativo é satisfeito (com folga).
Passo 5
Resumo interpretativo final (para você saber o que dizer na prova):
- O erro absoluto entre as iterações é exatamente
. - O erro relativo aproximado é
(ou ). - Sobre o critério de parada com
: - Para o critério absoluto com desigualdade estrita
: não satisfeito (é igual). - Para o critério absoluto com desigualdade não estrita
: satisfeito. - Para o critério relativo
: satisfeito.
- Para o critério absoluto com desigualdade estrita
Resposta
Critério de parada: critério absoluto com