Exercício 3. Utilize o método do ponto fixo para aproximar uma raiz da equação
x^{3}-x-1=0
com aproximação inicial x_{0}=1 e erro absoluto menor que 10^{-2}.
Construa uma tabela com os valores de x_{n}.

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método do ponto fixo para aproximar uma raiz da equação
x^{3}-x-1=0
com aproximação inicial x_{0}=1 e erro absoluto menor que 10^{-2}. Além disso devo construir uma tabela com os valores de x_{n}.
Informações dadas:
  • Equação: \,x^{3}-x-1=0\,.
  • Aproximação inicial: \,x_{0}=1\,.
  • Tolerância exigida para o erro absoluto: \,10^{-2}.
  • Pedido adicional: tabela com os valores de \,x_{n}\,.

Passo 2

O método do ponto fixo transforma a equação f(x)=0 em uma equação equivalente x=g(x) e gera a sequência
x_{n+1}=g(x_{n}).
Se g for uma contração numa vizinhança da raiz (isto é, existir L\in[0,1) tal que |g'(x)|\le L nessa vizinhança), então a sequência converge para a raiz fixa \alpha e vale o seguinte controle de erro útil:
|x_{n}-\alpha|\le \frac{L}{1-L}\,|x_{n}-x_{n-1}|.
Isso é prático porque permite controlar o erro absoluto pela diferença entre iterações sucessivas.
Escolha de g(x). A equação original é \,x^{3}-x-1=0, que pode ser escrita como \,x^{3}=x+1. Assim uma escolha natural é
g(x)=\sqrt[3]{x+1}=(x+1)^{1/3},
pois a raiz \alpha satisfaz \alpha=g(\alpha).
Verificação de contração (calcular g'(x) e um cota L). Temos
g'(x)=\frac{1}{3}(x+1)^{-2/3}.
O raiz está entre 1 e 2 (porque f(1)=-1<0 e f(2)=5>0); vou trabalhar no intervalo [1,1{,}5] que contém a raiz. Em [1,1{,}5] o fator (x+1)^{-2/3} é máximo em x=1, logo
|g'(x)|\le g'(1)=\frac{1}{3}\,2^{-2/3}.
Calculando numericamente
2^{-2/3}\approx 0{,}6299605249, \qquad g'(1)\approx \frac{0{,}6299605249}{3}\approx 0{,}2099868416.
Então posso tomar L\approx 0{,}20999<1: g é uma contração no intervalo considerado e a convergência está garantida.
Uso do controle de erro. Pela desigualdade acima,
|x_{n}-\alpha|\le \frac{L}{1-L}\,|x_{n}-x_{n-1}|.
Com L\approx 0{,}20999 obtém-se
\frac{L}{1-L}\approx\frac{0{,}20999}{0{,}79001}\approx 0{,}266 \,.
Logo, se eu garantir |x_{n}-x_{n-1}|<10^{-2}, então
|x_{n}-\alpha|\le 0{,}266\cdot 10^{-2}=2{,}66\times 10^{-3}<10^{-2}.
Portanto é seguro usar como critério de parada a condição
|x_{n}-x_{n-1}|<10^{-2},
pois isso implicará que o erro absoluto real |x_{n}-\alpha| é menor que 10^{-2}.

Passo 3

Agora aplico a iteração x_{n+1}=g(x_{n})=(x_{n}+1)^{1/3} a partir de x_{0}=1. Vou mostrar os cálculos e montar a tabela com os valores x_{n} até que |x_{n}-x_{n-1}|<10^{-2}.
Cálculo das iterações (usando aproximações decimais, mantendo algumas casas):
  • n=0:
x_{0}=1.
  • n=1:
x_{1}=g(x_{0})=(1+1)^{1/3}=2^{1/3}\approx 1{,}25992105.
Diferença: |x_{1}-x_{0}|\approx 0{,}25992105.
  • n=2:
x_{2}=g(x_{1})=(x_{1}+1)^{1/3}=(1{,}25992105+1)^{1/3}=(2{,}25992105)^{1/3}\approx 1{,}31238471.
(para obter essa aproximação fez-se uma iteração numérica da raiz cúbica; é suficiente a precisão mostrada).
Diferença: |x_{2}-x_{1}|\approx 1{,}31238471-1{,}25992105\approx 0{,}05246366.
  • n=3:
x_{3}=g(x_{2})=(x_{2}+1)^{1/3}=(1{,}31238471+1)^{1/3}=(2{,}31238471)^{1/3}\approx 1{,}32237770.
Diferença: |x_{3}-x_{2}|\approx 1{,}32237770-1{,}31238471\approx 0{,}00999299.
Aqui vemos que |x_{3}-x_{2}|\approx 9{,}993\times 10^{-3}<10^{-2}, portanto o critério de parada foi satisfeito em n=3. Como explicado no Passo 2, isso garante que o erro absoluto real |x_{3}-\alpha| é menor que 10^{-2}.
Tabela com os valores de x_{n} (colunas: n e x_{n}, mostradas com 8 casas decimais):
\begin{array}{c|c} n & x_{n} \\\ \hline 0 & 1{,}00000000\\\\ 1 & 1{,}25992105\\\\ 2 & 1{,}31238471\\\\ 3 & 1{,}32237770 \end{array}

Passo 4

Verificação final do critério de parada e garantia do erro:
  • Critério: |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}009993<10^{-2} — portanto paro em n=3.
  • Pelo fator \dfrac{L}{1-L}\approx 0{,}266 (do Passo 2) obtemos
|x_{3}-\alpha|\le 0{,}266\cdot |x_{3}-x_{2}| \approx 0{,}266\cdot 0{,}009993 \approx 2{,}66\times 10^{-3}<10^{-2},
logo o requisito do enunciado (erro absoluto menor que 10^{-2}) está satisfeito.

Resposta

Tabela de iterações (cada linha é um x_{n}):
n=0:\;x_{0}=1{,}00000000
n=1:\;x_{1}=1{,}25992105
n=2:\;x_{2}=1{,}31238471
n=3:\;x_{3}=1{,}32237770

Exercícios relacionados