Exercício 3. Utilize o método do ponto fixo para aproximar uma raiz da equação
com aproximação inicial
e erro absoluto menor que
.
Construa uma tabela com os valores de
.
Construa uma tabela com os valores de
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método do ponto fixo para aproximar uma raiz da equação
com aproximação inicial
e erro absoluto menor que
. Além disso devo construir uma tabela com os valores de
.
Informações dadas:
- Equação:
. - Aproximação inicial:
. - Tolerância exigida para o erro absoluto:
. - Pedido adicional: tabela com os valores de
.
Passo 2
O método do ponto fixo transforma a equação
em uma equação equivalente
e gera a sequência
Se
for uma contração numa vizinhança da raiz (isto é, existir
tal que
nessa vizinhança), então a sequência converge para a raiz fixa
e vale o seguinte controle de erro útil:
Isso é prático porque permite controlar o erro absoluto pela diferença entre iterações sucessivas.
Escolha de
. A equação original é
, que pode ser escrita como
. Assim uma escolha natural é
pois a raiz
satisfaz
.
Verificação de contração (calcular
e um cota
). Temos
O raiz está entre
e
(porque
e
); vou trabalhar no intervalo
que contém a raiz. Em
o fator
é máximo em
, logo
Calculando numericamente
Então posso tomar
:
é uma contração no intervalo considerado e a convergência está garantida.
Uso do controle de erro. Pela desigualdade acima,
Com
obtém-se
Logo, se eu garantir
, então
Portanto é seguro usar como critério de parada a condição
pois isso implicará que o erro absoluto real
é menor que
.
Passo 3
Agora aplico a iteração
a partir de
. Vou mostrar os cálculos e montar a tabela com os valores
até que
.
Cálculo das iterações (usando aproximações decimais, mantendo algumas casas):
-
:
-
:
Diferença:
.
-
:
(para obter essa aproximação fez-se uma iteração numérica da raiz cúbica; é suficiente a precisão mostrada).
Diferença: .
Diferença:
-
:
Diferença:
.
Aqui vemos que
, portanto o critério de parada foi satisfeito em
. Como explicado no Passo 2, isso garante que o erro absoluto real
é menor que
.
Tabela com os valores de
(colunas:
e
, mostradas com 8 casas decimais):
Passo 4
Verificação final do critério de parada e garantia do erro:
- Critério:
— portanto paro em . - Pelo fator
(do Passo 2) obtemos
logo o requisito do enunciado (erro absoluto menor que
) está satisfeito.
Resposta
Tabela de iterações (cada linha é um
):