Exercício 2.3. Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 4 \\\\ -2 & 0 & 3 \end{array}\right]
(a) Determine, se existir, a matriz inversa de A.
(b) Dado B=[2,-1,3]^{t}, encontre a solução do sistema A \mathbf{x}=B.
(c) Calcule 2 A+3 A.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) Determinar, se existir, a matriz inversa de A.
(b) Dado B=\left[2,-1,3\right]^{t}, encontrar a solução do sistema A\mathbf{x}=B.
(c) Calcular 2A+3A.
As informações dadas:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 4 \\\\ -2 & 0 & 3 \end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{c}2\\\ -1\\\ 3\end{array}\right].

Passo 2

Primeiro, vamos checar se A é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Vou calcular \det(A) pela expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\!\left[\begin{array}{cc}3 & 4\\[2pt]0 & 3\end{array}\right] -2\cdot\det\!\left[\begin{array}{cc}0 & 4\\[2pt]-2 & 3\end{array}\right] +1\cdot\det\!\left[\begin{array}{cc}0 & 3\\[2pt]-2 & 0\end{array}\right].
Calculo cada determinante 2\times2:
\det\!\left[\begin{array}{cc}3 & 4\\\ 0 & 3\end{array}\right]=3\cdot3-4\cdot0=9,
\det\!\left[\begin{array}{cc}0 & 4\\\ -2 & 3\end{array}\right]=0\cdot3-4\cdot(-2)=8,
\det\!\left[\begin{array}{cc}0 & 3\\\ -2 & 0\end{array}\right]=0\cdot0-3\cdot(-2)=6.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot9-2\cdot8+1\cdot6=9-16+6=-1.
Como \det(A)=-1\neq0, a matriz A é invertível. Isso garante que existe A^{-1} e que podemos obter a solução do sistema como \mathbf{x}=A^{-1}B.]

Passo 3

Vou calcular A^{-1} pelo método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A\,|\,I] e transformar a parte esquerda na identidade usando operações elementares sobre linhas; a parte direita se tornará A^{-1}.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Primeira operação: eliminar o -2 na posição (3,1) somando 2 vezes a linha 1 à linha 3:
R_3\leftarrow R_3+2R_1.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 5 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right]
Agora vamos trabalhar na coluna 2. Faço R_2\leftarrow \tfrac{1}{3}R_2 para ter pivô 1 em (2,2):
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{4}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 4 & 5 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right]
Eliminar a entrada 2 em (1,2) usando R_1\leftarrow R_1-2R_2 e eliminar 4 em (3,2) com R_3\leftarrow R_3-4R_2:
Cálculos (mostrando como se faz):
  • Nova R_1: [1,\;0,\;1-2\cdot\frac{4}{3}]=[1,\;0,\;-5/3] e parte direita [1,\;0,\;0]-2[0,\;1/3,\;0]=[1,\;-2/3,\;0].
  • Nova R_3: [0,\;0,\;5-4\cdot\frac{4}{3}]=[0,\;0,\;-1/3] e parte direita [2,\;0,\;1]-4[0,\;1/3,\;0]=[2,\;-4/3,\;1].
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{5}{3} & 1 & -\tfrac{2}{3} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{4}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{3} & 2 & -\tfrac{4}{3} & 1 \end{array}\right]
Agora pivô em (3,3) é -\tfrac{1}{3}. Normalizo a linha 3 multiplicando por -3:
R_3\leftarrow -3R_3,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{5}{3} & 1 & -\tfrac{2}{3} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{4}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -6 & 4 & -3 \end{array}\right]
Agora elimino as entradas acima do pivô 1 na coluna 3:
  • R_1\leftarrow R_1 + \tfrac{5}{3}R_3.
  • R_2\leftarrow R_2 - \tfrac{4}{3}R_3.
Calculemos os termos da parte direita:
  • Para R_1 (parte direita): [1,\,-\tfrac{2}{3},\,0]+\tfrac{5}{3}[-6,\,4,\,-3]=[1-10,\,-\tfrac{2}{3}+ \tfrac{20}{3},\,0-5]=[-9,\,6,\,-5].
  • Para R_2 (parte direita): [0,\,\tfrac{1}{3},\,0]-\tfrac{4}{3}[-6,\,4,\,-3]=[0+8,\,\tfrac{1}{3}-\tfrac{16}{3},\,0+4]=[8,\,-5,\,4].
Assim a forma reduzida fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -9 & 6 & -5\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 8 & -5 & 4\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -6 & 4 & -3 \end{array}\right].
A parte direita agora é exatamente A^{-1}. Portanto:
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} -9 & 6 & -5\\[4pt] 8 & -5 & 4\\[4pt] -6 & 4 & -3 \end{array}\right].]

Passo 4

Interpretação e checagem rápida: A^{-1} satisfaz A A^{-1}=I. Por exemplo, multiplicando A pela primeira coluna de A^{-1}, obtém-se
A\left[\begin{array}{c}-9\\[2pt]8\\[2pt]-6\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{array}\right],
o que confirma que a primeira coluna é correta (checagens análogas valem para as outras colunas). Isso, junto com \det(A)=-1, corrobora que a inversa está certa.]

Passo 5

Resolver A\mathbf{x}=B. Como A é invertível, \mathbf{x}=A^{-1}B. Vamos multiplicar A^{-1} por B:
A^{-1}B= \left[\begin{array}{ccc} -9 & 6 & -5\\[4pt] 8 & -5 & 4\\[4pt] -6 & 4 & -3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}2\\[2pt]-1\\[2pt]3\end{array}\right].
Calcule componente a componente:
x_1=-9\cdot2+6\cdot(-1)+(-5)\cdot3=-18-6-15=-39,
x_2=8\cdot2+(-5)\cdot(-1)+4\cdot3=16+5+12=33,
x_3=-6\cdot2+4\cdot(-1)+(-3)\cdot3=-12-4-9=-25.
Logo
\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-39\\[2pt]33\\[2pt]-25\end{array}\right].
Pode-se verificar substituindo em A\mathbf{x} que se obtém B.]

Passo 6

Calcular 2A+3A. Regra: multiplicação escalar distribui sobre matrizes, então 2A+3A=(2+3)A=5A. Basta multiplicar cada entrada de A por 5:
5A=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 10 & 5\\[4pt] 0 & 15 & 20\\[4pt] -10 & 0 & 15 \end{array}\right].]

Resposta

(a) \displaystyle A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-9 & 6 & -5\\[4pt]8 & -5 & 4\\[4pt]-6 & 4 & -3\end{array}\right]
(b) \displaystyle \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-39\\[2pt]33\\[2pt]-25\end{array}\right]
(c) \displaystyle 2A+3A=\left[\begin{array}{ccc}5 & 10 & 5\\[4pt]0 & 15 & 20\\[4pt]-10 & 0 & 15\end{array}\right]]

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