(a) Determine, se existir, a matriz inversa de A.
(b) Dado B=[2,-1,3]^{t}, encontre a solução do sistema A \mathbf{x}=B.
(c) Calcule 2 A+3 A.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Determinar, se existir, a matriz inversa de A.
(b) Dado B=\left[2,-1,3\right]^{t}, encontrar a solução do sistema A\mathbf{x}=B.
(c) Calcular 2A+3A.
Primeiro, vamos checar se A é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Vou calcular \det(A) pela expansão pela primeira linha:
Como \det(A)=-1\neq0, a matriz A é invertível. Isso garante que existe A^{-1} e que podemos obter a solução do sistema como \mathbf{x}=A^{-1}B.]
Passo 3
Vou calcular A^{-1} pelo método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A\,|\,I] e transformar a parte esquerda na identidade usando operações elementares sobre linhas; a parte direita se tornará A^{-1}.
o que confirma que a primeira coluna é correta (checagens análogas valem para as outras colunas). Isso, junto com \det(A)=-1, corrobora que a inversa está certa.]
Passo 5
Resolver A\mathbf{x}=B. Como A é invertível, \mathbf{x}=A^{-1}B. Vamos multiplicar A^{-1} por B: