Exercício 2.2. Resolver o seguinte sistema de equações:
\begin{cases}x-2 y+3 z & =9 \\\\ -x+3 y & =-4 \\\\ 2 x-5 y+5 z & =17\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede encontrar os valores de x\), \(y\) e \(z\): \[\begin{cases} x-2y+3z=9,\\[4pt] -x+3y=-4,\\[4pt] 2x-5y+5z=17. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Há três equações independentes envolvendo as incógnitas x\], \(y e z.
  • O objetivo é determinar o triplo (x,y,z) que satisfaz todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Escolha do método e motivo (curtinho e prático): vou usar eliminação/substituição — método bem direto e elemental para resolver sistemas 3\times3. A ideia é eliminar uma variável combinando equações, reduzir o sistema e resolver passo a passo. Não se assuste: é só cancelar termos inteligentes.
Rotulo as equações para facilitar:
\begin{aligned} (1)\\ & x-2y+3z=9,\\[4pt] (2)\\ & -x+3y+0z=-4,\\[4pt] (3)\\ & 2x-5y+5z=17. \end{aligned}]

Passo 3

Eliminar x somando (1) e (2). Raciocínio: os coeficientes de x nas duas equações são 1 e -1, então somando as equações x some.
Calcule:
(1)+(2):\quad (x-2y+3z)+(-x+3y)=9+(-4).
No lado esquerdo x+(-x)=0, -2y+3y=y, sobra 3z. No lado direito 9-4=5. Assim obtemos a nova equação
(4)\quad y+3z=5.

Passo 4

Expressar y em função de z usando (4), para poder substituir em outras equações:
y=5-3z.
Agora vou usar (1) para obter x em função de z. Substituo y em (1):
x-2(5-3z)+3z=9.
Desenvolvendo:
x-10+6z+3z=9.
Agrupando termos:
x+9z-10=9.
Isolando x:
x+9z=19\quad\Rightarrow\quad x=19-9z.

Passo 5

Agora substituo x=19-9z e y=5-3z na equação (3) para encontrar z. Escrevo (3) e faço a substituição:
2x-5y+5z=17
2(19-9z)-5(5-3z)+5z=17.
Faço as multiplicações:
38-18z-25+15z+5z=17.
Combino os termos em z: -18z+15z+5z=2z. Combine constantes: 38-25=13. Assim:
13+2z=17.
Isolando z:
2z=4\quad\Rightarrow\quad z=2.

Passo 6

Com z=2, volto às expressões que encontrei para y e x:
y=5-3z=5-3\cdot2=5-6=-1,
x=19-9z=19-9\cdot2=19-18=1.

Passo 7

Verificação rápida (sempre faça isso na prova para evitar erro de sinal). Substituo (x,y,z)=(1,-1,2) nas três equações originais:
Para (1):
x-2y+3z = 1-2(-1)+3\cdot2 = 1+2+6=9 \quad\checkmark
Para (2):
-x+3y = -1+3(-1) = -1-3=-4 \quad\checkmark
Para (3):
2x-5y+5z = 2\cdot1-5(-1)+5\cdot2 = 2+5+10=17 \quad\checkmark
Todas batem, então a solução está correta.

Resposta

x=1
y=-1
z=2

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