Exercício 2.4. Resolva o sistema, utilizando a regra de Cramer.
\left\{\begin{array}{r} 2 x+y+z=3 \\\\ -2 x+2 y-z=0 \\\\ 3 x+y+z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear seguinte e pede que o resolvamos usando a regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{r} 2x+y+z=3\\[4pt] -2x+2y-z=0\\[4pt] 3x+y+z=1 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • As incógnitas são x, y, z.
  • O sistema tem três equações lineares e três incógnitas.
  • O método exigido é a regra de Cramer (logo precisaremos dos determinantes das matrizes envolvidas).]

Passo 2

O que é a regra de Cramer e como ela funciona (explicação passo a passo):
  • Escreve-se o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, em que A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x}=(x,y,z)^{T} e \mathbf{b} é o vetor dos termos constantes.
  • Calcula-se o determinante D=\det(A). Se D\neq 0, o sistema tem solução única.
  • Para cada incógnita substitui-se a coluna correspondente de A pelo vetor \mathbf{b} e calcula-se o determinante dessa nova matriz: D_x, D_y, D_z.
  • As soluções são dadas por
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D}.
Como calcular um determinante 3\times3 de forma prática: usa-se a regra de Sarrus (fácil de aplicar em prova). Para a matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[2pt] d & e & f\\[2pt] g & h & i \end{pmatrix}
a regra de Sarrus diz: somar os produtos das três diagonais principais e subtrair a soma dos produtos das três diagonais secundárias:
\det= (a e i + b f g + c d h) - (c e g + a f h + b d i).
Cada termo aí é um produto de três números da matriz; vou aplicar isso diretamente nos passos seguintes.]

Passo 3

Formo a matriz dos coeficientes A e o vetor \mathbf{b}:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[2pt] -2 & 2 & -1\\[2pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo o determinante D=\det(A) aplicando a regra de Sarrus:
  • Produtos das diagonais principais:
2\cdot2\cdot1 =4,\qquad 1\cdot(-1)\cdot3 =-3,\qquad 1\cdot(-2)\cdot1 =-2.
Soma das principais: 4+(-3)+(-2)=-1.
  • Produtos das diagonais secundárias:
1\cdot2\cdot3 =6,\qquad 2\cdot(-1)\cdot1 =-2,\qquad 1\cdot(-2)\cdot1 =-2.
Soma das secundárias: 6+(-2)+(-2)=2.
  • Determinante:
D = (\text{soma principais}) - (\text{soma secundárias}) = -1 - 2 = -3.á
Como D=-3\neq 0, há solução única.

Passo 5

Calculo D_x: substituo a primeira coluna de A por \mathbf{b}, obtendo
A_x=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[2pt] 0 & 2 & -1\\[2pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Determinante de A_x (vou fazer por expansão na primeira linha para variar a técnica e mostrar outra forma):
\det(A_x)=3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-1)\cdot1=2+1=3,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-(-1)\cdot1=1,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot1=-2.
Substituindo:
D_x = 3\cdot3 -1\cdot1 +1\cdot(-2)=9-1-2=6.]

Passo 6

Calculo D_y: substituo a segunda coluna por \mathbf{b},
A_y=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[2pt] -2 & 0 & -1\\[2pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Cálculo do determinante (expansão pela primeira linha):
\det(A_y)=2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt]3 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt]3 & 1\end{pmatrix}.
Calculo dos menores:
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-(-1)\cdot1=1,
\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt]3 & 1\end{pmatrix}=(-2)\cdot1-(-1)\cdot3=-2+3=1,
\det\begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt]3 & 1\end{pmatrix}=(-2)\cdot1-0\cdot3=-2.
Substituindo:
D_y = 2\cdot1 -3\cdot1 +1\cdot(-2)=2-3-2=-3.]

Passo 7

Calculo D_z: substituo a terceira coluna por \mathbf{b},
A_z=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\[2pt] -2 & 2 & 0\\[2pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Uso a regra de Sarrus ou expansão; aqui uso Sarrus:
  • Produtos principais: 2\cdot2\cdot1 =4,\quad 1\cdot0\cdot3 =0,\quad 3\cdot(-2)\cdot1 =-6. Soma = -2.
  • Produtos secundários: 3\cdot2\cdot3 =18,\quad 2\cdot0\cdot1 =0,\quad 1\cdot(-2)\cdot1 =-2. Soma = 16.
  • Determinante:
D_z = (\text{soma principais}) - (\text{soma secundárias}) = -2 - 16 = -18.á]

Passo 8

Agora aplico Cramer para obter as incógnitas:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{6}{-3}=-2, \qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{-3}{-3}=1, \qquad z=\frac{D_z}{D}=\frac{-18}{-3}=6.

Passo 9

Cheque rápido (substituição nas equações originais) para garantir que está tudo certo:
  • Primeira equação: 2x+y+z=2(-2)+1+6=-4+1+6=3 (ok).
  • Segunda: -2x+2y-z=-2(-2)+2\cdot1-6=4+2-6=0 (ok).
  • Terceira: 3x+y+z=3(-2)+1+6=-6+1+6=1 (ok).
    Tudo conferido: solução correta e única.

Resposta

x=-2
y=1
z=6

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