Exercício 4. Considere a matriz n times n, H, tal que himath jmath=1imath+jmath-1. Estas matrizes são simétricas e definidas positivas.
  1. Para n=2, calcule det(H), H^-1 e kappa1(H).
  2. Para n=3, calcule det(H), H^-1, kappa1(H), e a solução do SEL H x=b com
b=(l 8 8 7 )

Passo 1

O enunciado trata das matrizes de Hilbert HinR^ntimes n definidas por
hij = 1i+j-1,
que são simétricas e definidas positivas. Para n=2 e n=3 vamos calcular o determinante det(H), a inversa H^-1, o número de condição na norma- 1
kappa1(H) = |H|1,|H^-1|1,
e, no caso n=3, resolver o sistema linear H,x=b com
b = 887

Passo 2

Caso n=2. A matriz é
H = 1 & tfrac12[6pt] tfrac12 & tfrac13
Usando a fórmula de determinante de 2times2,
det(H) = 1cdottfrac13 - tfrac12cdottfrac12 = tfrac13 - tfrac14 = tfrac112
Para a inversa de uma 2times2,
H^-1 = 1det(H) tfrac13 & -tfrac12[3pt] -tfrac12 & 1 = 12 tfrac13 & -tfrac12[3pt] -tfrac12 & 1 = 4 & -6[3pt] -6 & 12 ]

Passo 3

Ainda em n=2, calculamos as normas- 1:
|H|1 = max,1 + tfrac12,;tfrac12 + tfrac13 = tfrac32,
|H^-1|1 = max,|4|+|-6|,;|-6|+|12| = max10,18 = 18
Logo
kappa1(H) = tfrac32 times 18 = 27

Passo 4

Caso n=3. A matriz é
H = 1 & tfrac12 & tfrac13[3pt] tfrac12 & tfrac13 & tfrac14[3pt] tfrac13 & tfrac14 & tfrac15
O determinante conhecido vale
det(H) = 12160
A inversa também é clássica (pode ser obtida por adjunta ou fórmula explícita):
H^-1 = 9 & -36 & 30[3pt] -36 & 192 & -180[3pt] 30 & -180 & 180 ]

Passo 5

Para n=3, as normas- 1 são
|H|1 = max,1 + tfrac12 + tfrac13,;tfrac12 + tfrac13 + tfrac14,;tfrac13 + tfrac14 + tfrac15 = 116,
|H^-1|1 = max,|9|+|-36|+|30|,;|-36|+|192|+|-180|,;|30|+|-180|+|180| = 408
Então
kappa1(H) = 116times 408 = 748

Passo 6

Ainda em n=3, resolvemos
H,x = b, b = 887
pelo produto x = H^-1b:
x = 9 & -36 & 30 -36 & 192 & -180 30 & -180 & 180 887 = -6-12 60

Resposta

Para n=2:
det(H)=tfrac112,
H^-1=4 & -6-6 & 12,
kappa1(H)=27
Para n=3:
det(H)=tfrac12160,
H^-1= 9 & -36 & 30 -36 & 192 & -180 30 & -180 & 180 ,
kappa1(H)=748,
x = -6-1260

Exercícios relacionados