Exercício 4. Considere a matriz
, tal que
. Estas matrizes são simétricas e definidas positivas.
- Para
, calcule
e
.
- Para
, calcule
, e a solução do SEL
com
Passo 1
O enunciado trata das matrizes de Hilbert
HinR^ntimes n definidas por
que são simétricas e definidas positivas. Para
n=2 e
n=3 vamos calcular o determinante
det(H) , a inversa
H^-1 , o número de condição na norma-
1
e, no caso
n=3 , resolver o sistema linear
H,x=b com
Passo 2
Caso
n=2 . A matriz é
Usando a fórmula de determinante de
2times2 ,
Para a inversa de uma
2times2 ,
Passo 3
Ainda em
n=2 , calculamos as normas-
1 :
Logo
Passo 4
Caso
n=3 . A matriz é
O determinante conhecido vale
A inversa também é clássica (pode ser obtida por adjunta ou fórmula explícita):
Passo 5
Para
n=3 , as normas-
1 são
Então
Passo 6
Ainda em
n=3 , resolvemos
pelo produto
x = H^-1b :
Resposta
Para
n=2 :
det(H)=tfrac112,
Para
n=3 :
det(H)=tfrac12160,