Exercício 3. No processo de escalonamento de uma certa matriz obtivemos o seguinte dispositivo prático:
Operações
1 3 3 -2 2
2 1 -1 5 4
3 0 3 0 -3
4 1 -1 -1 1
5 0 -2
6 0 3 0 -3
7 0 -2
8 0 0
9 0 0
10 0 0 0
  1. Escreva a matriz , assim como as matrizes e da decomposição de .
  2. Calcule e a solução do SEL com

Passo 1

O enunciado pede que façamos a decomposição com pivoteamento parcial
P,A = L,U
da matriz
A= 3 & 3 & -2 & 2 1 & -1 & 5 & 4 0 & 3 & 0 & -3 1 & -1 & -1 & 1 ,
em que P é a matriz de permutação, L é unitária inferior e U é triangular superior.
Em seguida, usaremos essa decomposição para
1. calcular det(A), sabendo que det(P)=-1 (um único swap);
2. resolver A x=b com
b=1-2124-9
usando o fato de que P,A=L,Uimplies A x=bLeftrightarrow L,U x = P,b.

Passo 2

Determinação de P e dos multiplicadores (entradas de L):
– No passo de eliminação da coluna 1 não houve troca, os multiplicadores são
ell21=13, ell31=0, ell41=13
– Na coluna 2, o maior pivô em valor absoluto entre as linhas 2,3, 4 é 3 (linha 3), então se troca linha 2 rightarrow 3. Isso faz det(P)=-1, e na coluna 1 trocamos ell21 com ell31, ficando
ell21=0, ell31=tfrac13, ell41=tfrac13
Em seguida, para eliminar coluna 2 nas linhas 3 e 4 (já permutadas) usamos
ell32=-23, ell42=-23
– Na coluna 3 não há troca adicional e o multiplicador para a linha 4 é
ell43=-1/317/3=-117
Assim
P= 1 &0 &0 &0 0 &0 &1 &0 0 &1 &0 &0 0 &0 &0 &1 , L= 1 &0 &0 &0 0 &1 &0 &0 tfrac13 &-tfrac23 &1 &0 tfrac13 &-tfrac23 &-tfrac117 &1

Passo 3

A matriz U é o resultado final do escalonamento superior, que fica
U= 3 & 3 & -2 & 2 0 & 3 & 0 & -3 0 & 0 & tfrac173 & tfrac43 0 & 0 & 0 & -tfrac2717

Passo 4

Cálculo de det(A). Como P,A=L,U e det(L)=1, temos
det(P),det(A)=det(U) ;Longrightarrow; det(A)=det(U)det(P) =-det(U),
pois det(P)=-1. E
det(U)=3cdot3cdot173cdotl(-2717r) =-81,
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det(A)= -(-81)=81

Passo 5

Resolução de A x=b via P,A=L,U.
1. Calcule P,b:
P,b= 124-21-9
2. Primeiro resolvemos L,y=P,b:
y1=1, y2=24, tfrac13,y1-tfrac23,y2+y3=-21;Rightarrow;y3=-tfrac163,
tfrac13,y1-tfrac23,y2-tfrac117y3+y4=-9 ;Rightarrow;y4=10817
3. Depois U,x=y por substituição regressiva:
-tfrac2717,x4=tfrac10817;Rightarrow;x4=-4,
173x3+43x4=-tfrac163;Rightarrow;x3=0,
3x2-3x4=24;Rightarrow;x2=4,
3x1+3x2-2x3+2x4=1;Rightarrow;x1=-1

Resposta

A matriz original é
A= 3 & 3 & -2 & 2 1 & -1 & 5 & 4 0 & 3 & 0 & -3 1 & -1 & -1 & 1 ,
e a decomposição P,A=L,U fica
P= 1 &0 &0 &0 0 &0 &1 &0 0 &1 &0 &0 0 &0 &0 &1 , L= 1 &0 &0 &0 0 &1 &0 &0 tfrac13 &-tfrac23 &1 &0 tfrac13 &-tfrac23 &-tfrac117 &1 , U= 3 & 3 & -2 & 2 0 & 3 & 0 & -3 0 & 0 & tfrac173 & tfrac43 0 & 0 & 0 & -tfrac2717
Além disso
det(A)=81, x=-140-4

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