Exercício 2. A matriz
A=(rrr 4 & -6 & 8 -6 & 13 & -10 8 & -10 & 18 )
é simétrica e definida positiva. Calcule a decomposição Cholesky de A e resolva o S E L A x=b com
b=(c 9 -11,9 19,8 )

Passo 1

O enunciado pede a decomposição de Cholesky de A (isto é, encontrar uma matriz triangular inferior L tal que A = LL^T) e, em seguida, usar essa fatoração para resolver o sistema linear
Ax = b
O procedimento é:
  1. Calcular L de modo que A = LL^T.
  2. Resolver Ly=b por substituição direta (forward substitution).
  3. Resolver L^T x = y por substituição retroativa (back substitution).

Passo 2

Vamos obter os elementos de L = (lij):
  1. Primeira coluna de L:
l11 = raiza11 = raiz4 = 2,
l21 = a21l11 = -62 = -3,
l31 = a31l11 = 82 = 4
  1. Segundo pivô e elemento abaixo dele:
l22 = raiza22 - l21^2 = raiz13 - (-3)^2 = raiz4 = 2,
l32 = a32 - l31l21l22 = -10 - (4)(-3)2 = -10 +122 = 1
  1. Terceiro pivô:
l33 = raiza33 - l31^2 - l32^2 = raiz18 - 4^2 - 1^2 = raiz1 = 1
Portanto, a fatoração de Cholesky é
L = 2 & 0 & 0 -3 & 2 & 0 4 & 1 & 1 ,
com A = LL^T.

Passo 3

Agora resolvemos Ly=b, onde
b = 9-11,919,8
As equações são:
2y1 = 9 Longrightarrow y1 = 92 = 4,5,
-3y1 +2y2 = -11,9 Longrightarrow -3(4,5)+2y2 = -11,9 ;Rightarrow; 2y2 = 1,6 ;Rightarrow; y2 = 0,8,
4y1 + y2 + y3 = 19,8 Longrightarrow 4(4,5)+0,8+y3 = 19,8 ;Rightarrow; y3 = 1,0
Logo,
y = 4,50,81,0

Passo 4

Finalmente, resolvemos L^T x = y. A matriz L^T é
L^T = 2 & -3 & 4 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1
As equações por retro-substituição são:
x3 = y3 = 1,0,
2x2 +1cdot x3 = y2 = 0,8 Longrightarrow 2x2 = -0,2 ;Rightarrow; x2 = -0,1,
2x1 -3x2 +4x3 = y1 = 4,5 Longrightarrow 2x1 -3(-0,1) +4(1,0) = 4,5 ;Rightarrow; 2x1 +0,3+4 = 4,5 ;Rightarrow; 2x1 = 0,2 ;Rightarrow; x1 = 0,1
Portanto,
x = 0,1-0,11,0

Resposta

A decomposição de Cholesky é
L = 2 & 0 & 0 -3 & 2 & 0 4 & 1 & 1 ,
tal que A = LL^T, e a solução do sistema Ax=b é
x = 0,1-0,11,0

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