Exercício 1.6. Considere a sequência definida por:
- Prove que
é crescente e limitada.
- Determine o limite
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por:
O que pede o exercício:
- Provar que
é crescente (isto é, para todo ) e limitada (existe um número real que serve de maiorante e um que serve de minorante). - Determinar o limite
, supondo que ele exista.
Informações fornecidas que usaremos explicitamente:
- O termo inicial
. - A relação de recorrência
.
Passo 2
Provar que
é crescente (estratégia: usar o fato de que a função
é crescente e aplicar indução).
Primeiro veja que a função
é crescente no conjunto dos números reais onde está definida, porque se
então
e, aplicando a raiz quadrada (que preserva a ordem para argumentos não negativos), obtemos
. Em palavras: aumentar a entrada aumenta a saída de
.
Agora mostramos por indução que
para todo
.
Base (caso
): calcule
:
Logo
(pois
).
Passo indutivo: suponha que para algum
vale
. Aplicando a função
crescente obtemos
Portanto, por indução matemática,
para todo
: a sequência é crescente.
Observação intuitiva: cada termo é obtido aplicando a mesma transformação crescente ao termo anterior, logo os termos não diminuem.
Passo 3
Provar que
é limitada (vamos achar um majorante simples e um minorante).
Minorante: como a sequência é crescente e
, todos os termos satisfazem
Então
é um minorante.
Majorante: vamos mostrar que
é um majorante. Verifique primeiro a base:
Agora, se
então
Como
(porque
), segue
. Assim, por indução, todos os termos satisfazem
para todo
. Portanto
é um majorante.
Conclusão desta etapa: a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
; em particular é limitada.
Passo 4
Usando o teorema do ponto fixo monotônico (ou, mais diretamente, o teorema que diz que toda sequência monótona e limitada é convergente), concluímos que a sequência
, sendo crescente e limitada superiormente, converge. Portanto existe
(Uma palavra rápida sobre por que isso é válido: uma sequência crescente e limitada acima tem uma suprema finita; os termos aproximam essa suprema e por isso convergem para ela.)
Passo 5
Determinar
. Como
para todo
e
, podemos tomar limite em ambos os lados. A função
é contínua onde definida, e soma/adição também são contínuas, portanto podemos passar o limite para dentro da expressão:
Passo 6
Resolver a equação fixa obtida:
Eleve ao quadrado ambos os lados (observando que
pois todos os
):
Rearranjando:
Usando a fórmula quadrática:
Temos duas raízes:
e
. A segunda é negativa (aproximadamente
), mas a sequência
é formada por termos
, logo o limite não pode ser negativo. Portanto o único valor possível é a raiz positiva
Verificação rápida de coerência: numericamente
, que está entre os limites
e
que estabelecemos, então tudo faz sentido.