Exercício 1.6. Considere a sequência definida por:
b_{1}=2, b_{n+1}=\sqrt{10+b_{n}} \quad \text { para todo } n \geq 1 .
  • Prove que \left\{b_{n}\right\} é crescente e limitada.
  • Determine o limite L=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{b_n\} definida por:
b_{1}=2,\qquad b_{n+1}=\sqrt{10+b_{n}}\quad\text{para todo }n\ge 1.
O que pede o exercício:
  • Provar que \{b_n\} é crescente (isto é, b_{n+1}\ge b_n para todo n) e limitada (existe um número real que serve de maiorante e um que serve de minorante).
  • Determinar o limite L=\lim_{n\to+\infty} b_n, supondo que ele exista.
Informações fornecidas que usaremos explicitamente:
  • O termo inicial b_{1}=2.
  • A relação de recorrência b_{n+1}=\sqrt{10+b_{n}}.

Passo 2

Provar que \{b_n\} é crescente (estratégia: usar o fato de que a função f(x)=\sqrt{10+x} é crescente e aplicar indução).
Primeiro veja que a função
f(x)=\sqrt{10+x}
é crescente no conjunto dos números reais onde está definida, porque se x\ge y então 10+x\ge 10+y e, aplicando a raiz quadrada (que preserva a ordem para argumentos não negativos), obtemos f(x)\ge f(y). Em palavras: aumentar a entrada aumenta a saída de f.
Agora mostramos por indução que b_{n+1}\ge b_n para todo n.
Base (caso n=1): calcule b_2:
b_2=\sqrt{10+b_1}=\sqrt{10+2}=\sqrt{12}\approx 3,464\ldots
Logo b_2>b_1 (pois b_1=2).
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge 1 vale b_{k}\ge b_{k-1}. Aplicando a função f crescente obtemos
b_{k+1}=f(b_k)\ge f(b_{k-1})=b_k.
Portanto, por indução matemática, b_{n+1}\ge b_n para todo n\ge 1: a sequência é crescente.
Observação intuitiva: cada termo é obtido aplicando a mesma transformação crescente ao termo anterior, logo os termos não diminuem.

Passo 3

Provar que \{b_n\} é limitada (vamos achar um majorante simples e um minorante).
Minorante: como a sequência é crescente e b_1=2, todos os termos satisfazem
b_n\ge b_1=2\quad\text{para todo }n\ge1.
Então 2 é um minorante.
Majorante: vamos mostrar que 4 é um majorante. Verifique primeiro a base:
b_1=2\le 4.
Agora, se b_n\le 4 então
b_{n+1}=\sqrt{10+b_n}\le \sqrt{10+4}=\sqrt{14}.
Como \sqrt{14}<4 (porque 14<16), segue b_{n+1}<4. Assim, por indução, todos os termos satisfazem b_n\le 4 para todo n. Portanto 4 é um majorante.
Conclusão desta etapa: a sequência é limitada inferiormente por 2 e superiormente por 4; em particular é limitada.

Passo 4

Usando o teorema do ponto fixo monotônico (ou, mais diretamente, o teorema que diz que toda sequência monótona e limitada é convergente), concluímos que a sequência \{b_n\}, sendo crescente e limitada superiormente, converge. Portanto existe
L=\lim_{n\to+\infty} b_n\in\mathbb{R}.
(Uma palavra rápida sobre por que isso é válido: uma sequência crescente e limitada acima tem uma suprema finita; os termos aproximam essa suprema e por isso convergem para ela.)

Passo 5

Determinar L. Como b_{n+1}=\sqrt{10+b_n} para todo n e b_n\to L, podemos tomar limite em ambos os lados. A função x\mapsto\sqrt{x} é contínua onde definida, e soma/adição também são contínuas, portanto podemos passar o limite para dentro da expressão:
\lim_{n\to\infty} b_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{10+b_n} \quad\Longrightarrow\quad L=\sqrt{10+L}.

Passo 6

Resolver a equação fixa obtida:
L=\sqrt{10+L}.
Eleve ao quadrado ambos os lados (observando que L\ge 0 pois todos os b_n\ge 2):
L^2=10+L.
Rearranjando:
L^2-L-10=0.
Usando a fórmula quadrática:
L=\frac{1\pm\sqrt{1+40}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{41}}{2}.
Temos duas raízes: \dfrac{1+\sqrt{41}}{2} e \dfrac{1-\sqrt{41}}{2}. A segunda é negativa (aproximadamente -2,701\ldots), mas a sequência \{b_n\} é formada por termos \ge 2, logo o limite não pode ser negativo. Portanto o único valor possível é a raiz positiva
L=\frac{1+\sqrt{41}}{2}.
Verificação rápida de coerência: numericamente \dfrac{1+\sqrt{41}}{2}\approx 3,701\ldots, que está entre os limites 2 e 4 que estabelecemos, então tudo faz sentido.

Resposta

\lim_{n\to+\infty} b_n = \frac{1+\sqrt{41}}{2}

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