Exercício 1.7. Considere a sequência definida pela relação de recorrência: d_{1}=4, d_{n+1}= \sqrt{8+d_{n}} para todo n \geq 1.
  • Mostre que \left\{d_{n}\right\} é decrescente e limitada inferiormente.
  • Conclua que é convergente e determine o seu limite.

Passo 1

O enunciado dá a sequência definida por d_{1}=4 e, para todo n\ge 1,
d_{n+1}=\sqrt{8+d_{n}}.
O que pede:
  • Mostrar que a sequência \{d_n\} é decrescente e que é limitada inferiormente.
  • Concluir que \{d_n\} é convergente e determinar o seu limite.

Passo 2

Ideia para provar que é decrescente: mostrar que d_{2}<d_{1} e depois usar indução, usando a propriedade que, para números não negativos, se a<b então \sqrt{a}<\sqrt{b}. Primeiro cálculo direto do segundo termo:
d_{2}=\sqrt{8+d_{1}}=\sqrt{8+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Como 2\sqrt{3}\approx 3{,}464<4, temos d_{2}<d_{1}. Esse é o caso base para a indução.

Passo 3

Passo indutivo para monotonicidade decrescente: suponha que para algum k\ge 2 vale d_{k}<d_{k-1}. Então somando 8 aos dois lados obtemos 8+d_{k}<8+d_{k-1}. Aplicando a função raiz (que preserva a ordem para argumentos não negativos) obtemos
d_{k+1}=\sqrt{8+d_{k}}<\sqrt{8+d_{k-1}}=d_{k}.
Portanto, por indução, d_{n+1}<d_{n} para todo n\ge 1; isto é, a sequência \{d_n\} é decrescente.

Passo 4

Mostrar que é limitada inferiormente: proponho o número 3 como limite inferior. Verificação por indução:
  • Base: d_{1}=4\ge 3.
  • Passo indutivo: se d_{n}\ge 3 então
d_{n+1}=\sqrt{8+d_{n}}\ge \sqrt{8+3}=\sqrt{11}.
Como 11>9 segue \sqrt{11}>3, logo d_{n+1}>3. Assim por indução d_n\ge 3 para todo n. Concluímos que a sequência é limitada inferiormente (por exemplo por 3).
Observação: qualquer número menor que o verdadeiro limite também funcionaria como cota inferior adequada; aqui escolhi 3 porque é fácil de manipular sem calculadora.

Passo 5

Conclusão da convergência: usamos o Teorema da Convergência Monótona (uma sequência real que é monótona e limitada é convergente). Como \{d_n\} é decrescente e está limitada inferiormente, ela converge. Seja
L=\lim_{n\to\infty} d_{n}.

Passo 6

Determinar o limite L: como d_{n+1}=\sqrt{8+d_n} para todo n, passando ao limite em ambos os lados e usando continuidade da raiz quadrada (ou argumento direto), obtemos
L=\sqrt{8+L}.
Elevando ao quadrado:
L^{2}=8+L \quad\Longrightarrow\quad L^{2}-L-8=0.
Resolvendo a equação quadrática:
L=\frac{1\pm\sqrt{1+32}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{33}}{2}.
Temos duas raízes, uma positiva e uma negativa. Como todos os termos d_n são maiores que 3 (da prova de limitação), o limite L também satisfaz L\ge 3, portanto escolhemos a raiz positiva:
L=\frac{1+\sqrt{33}}{2}.
(se a raiz negativa fosse escolhida, seria aproximadamente -2{,}372, impossível como limite de uma sequência com todos os termos maiores que 3).

Passo 7

Resumo didático rápido (como lembrar na prova): para recorrências do tipo x_{n+1}=f(x_n)
  • Verifique se f preserva ordem (por ex. f crescente): isso permite fazer indução para monotonicidade.
  • Encontre uma cota fácil (por ex. 3) e use indução para mostrar que todos os termos ficam acima dela.
  • Então use o teorema da convergência monótona e resolva a equação fixa L=f(L) para encontrar o limite; escolha a raiz compatível com as cotas conhecidas.

Resposta

A sequência é decrescente e limitada inferiormente (por 3).
A sequência é convergente e seu limite é \displaystyle \frac{1+\sqrt{33}}{2}.

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