Exercício 1.7. Considere a sequência definida pela relação de recorrência:
para todo
.
- Mostre que
é decrescente e limitada inferiormente.
- Conclua que é convergente e determine o seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência definida por
e, para todo
,
O que pede:
- Mostrar que a sequência
é decrescente e que é limitada inferiormente. - Concluir que
é convergente e determinar o seu limite.
Passo 2
Ideia para provar que é decrescente: mostrar que
e depois usar indução, usando a propriedade que, para números não negativos, se
então
. Primeiro cálculo direto do segundo termo:
Como
, temos
. Esse é o caso base para a indução.
Passo 3
Passo indutivo para monotonicidade decrescente: suponha que para algum
vale
. Então somando 8 aos dois lados obtemos
. Aplicando a função raiz (que preserva a ordem para argumentos não negativos) obtemos
Portanto, por indução,
para todo
; isto é, a sequência
é decrescente.
Passo 4
Mostrar que é limitada inferiormente: proponho o número
como limite inferior. Verificação por indução:
- Base:
. - Passo indutivo: se
então
Como
segue
, logo
. Assim por indução
para todo
. Concluímos que a sequência é limitada inferiormente (por exemplo por
).
Observação: qualquer número menor que o verdadeiro limite também funcionaria como cota inferior adequada; aqui escolhi
porque é fácil de manipular sem calculadora.
Passo 5
Conclusão da convergência: usamos o Teorema da Convergência Monótona (uma sequência real que é monótona e limitada é convergente). Como
é decrescente e está limitada inferiormente, ela converge. Seja
Passo 6
Determinar o limite
: como
para todo
, passando ao limite em ambos os lados e usando continuidade da raiz quadrada (ou argumento direto), obtemos
Elevando ao quadrado:
Resolvendo a equação quadrática:
Temos duas raízes, uma positiva e uma negativa. Como todos os termos
são maiores que
(da prova de limitação), o limite
também satisfaz
, portanto escolhemos a raiz positiva:
(se a raiz negativa fosse escolhida, seria aproximadamente
, impossível como limite de uma sequência com todos os termos maiores que
).
Passo 7
Resumo didático rápido (como lembrar na prova): para recorrências do tipo
- Verifique se
preserva ordem (por ex. crescente): isso permite fazer indução para monotonicidade. - Encontre uma cota fácil (por ex.
) e use indução para mostrar que todos os termos ficam acima dela. - Então use o teorema da convergência monótona e resolva a equação fixa
para encontrar o limite; escolha a raiz compatível com as cotas conhecidas.
Resposta
A sequência é decrescente e limitada inferiormente (por
).
A sequência é convergente e seu limite é .
A sequência é convergente e seu limite é