Exercício 3 Considere o sistema linear
c 5 x1+x2+x3=5 x1+4 x2+x3=6 2 x1+2 x2+6 x3=0
Resolva pelo Método Iterativo de Gauss-Jacobi com x^(0)=(c0.0 0.0 0.0) e varepsilon=0.05 (se não estiver implementando) e varepsilon=0.0001 (caso contrário).

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo Método Iterativo de Gauss–Jacobi o sistema
5 x1+x2+x3=5, x1+4 x2+x3=6, 2 x1+2 x2+6 x3=0,
usando o chute inicial x^(0)=(0,0,0)^T e tolerância varepsilon=10^-4. Vamos escrever a forma iterativa, verificar convergência e então iterar até que a norma infinita da diferença entre iterações fique abaixo de varepsilon.

Passo 2

Isolando cada xi em sua própria equação, obtemos as fórmulas de atualização:
x1^(k+1) = 15l(5 - x2^(k) - x3^(k)r),
x2^(k+1) = 14l(6 - x1^(k) - x3^(k)r),
x3^(k+1) = 16l(-2,x1^(k) - 2,x2^(k)r) = -x1^(k) + x2^(k)3

Passo 3

Para garantir convergência do método de Gauss–Jacobi, verificamos se a matriz dos coeficientes é estritamente diagonal dominante:
lvert5rvert > lvert1rvert+lvert1rvert,
lvert4rvert > lvert1rvert+lvert1rvert,
lvert6rvert > lvert2rvert+lvert2rvert.
Como todas as desigualdades são verdadeiras, o método converge.

Passo 4

Aplicamos as fórmulas acima iterativamente até que
l|x^(k+1) - x^(k)r|infty < 10^-4.
Alguns resultados parciais (aproximados) são:
Iteração 1: x^(1) = (1,;1,5,;-0,8333)
Iteração 2: x^(2) = (0,8667,;1,4583,;-0,8333)
Iteração 3: x^(3) = (0,8750,;1,4917,;-0,7750)
···
Iteração 11: x^(11) approx (0,86005,;1,48005,;-0,77994) com
|x^(11) - x^(10)|infty approx 1,9times10^-4 > 10^-4
Iteração 12: x^(12) approx (0,85998,;1,47997,;-0,78003) com
|x^(12) - x^(11)|infty approx 9times10^-5 < 10^-4.

Resposta

A solução aproximada obtida é
xapprox (0,85998,;1,47997,;-0,78003)^T
após 12 iterações, com erro na norma infinita menor que 10^-4.

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