Exercício 4 Considere o sistema linear
c x1+0.5 x2-0.1 x3+0.1 x4=0.2 0.2 x1+x2-0.2 x3-0.1 x4=-2.6 -0.1 x1-0.2 x2+x3+0.2 x4=1.0 0.1 x1+0.3 x2+0.2 x3+x4=-2.5
Resolva pelo Método Iterativo de Gauss-Jacobi com x^(0)=(l0 0 0 0) e varepsilon=0.05 (se não estiver implementando) e varepsilon=0.0001 (caso contrário).

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas e pede para resolvê-lo pelo método iterativo de Gauss–Jacobi, com chute inicial
x^(0) = 0000
e tolerância de parada varepsilon = 0,05. Vamos usar iterações até que
|x^(k) - x^(k-1)|infty < varepsilon

Passo 2

Reescrevemos cada equação isolando a incógnita de coeficiente diagonal e obtemos as fórmulas de iteração:
x1^(k) = 0,2 - 0,5,x2^(k-1) + 0,1,x3^(k-1) - 0,1,x4^(k-1),[6pt] x2^(k) = -2,6 - 0,2,x1^(k-1) + 0,2,x3^(k-1) + 0,1,x4^(k-1),[6pt] x3^(k) = 1,0 + 0,1,x1^(k-1) + 0,2,x2^(k-1) - 0,2,x4^(k-1),[6pt] x4^(k) = -2,5 - 0,1,x1^(k-1) - 0,3,x2^(k-1) - 0,2,x3^(k-1)
O sistema é estritamente diagonalmente dominante em cada linha, garantindo convergência do método.]

Passo 3

Calculamos a primeira iteração a partir de x^(0):
x^(1) = 0,2 -2,6 1,0 -2,5
e o erro
|x^(1) - x^(0)|infty = max0,2,,2,6,,1,0,,2,5 = 2,6 > 0,05,
logo ainda não paramos.

Passo 4

Prosseguimos mais algumas iterações e avaliamos o erro máximo a cada vez:
x^(2) = 1,850-2,6901,000-1,940, |x^(2) - x^(1)|infty = 1,65>0,05,
x^(3) = 1,839-2,9641,035-2,078, |x^(3) - x^(2)|infty = 0,274>0,05,
x^(4) = 1,993-2,9691,007-2,002, |x^(4) - x^(3)|infty = 0,154>0,05

Passo 5

Mais uma iteração chega abaixo da tolerância:
x^(5) = 1,985-2,9981,006-2,010, |x^(5) - x^(4)|infty = 0,0286 < 0,05
Portanto, paramos em k=5.

Resposta

A solução aproximada obtida pelo método de Gauss–Jacobi é
x approx 1,985 -2,998 1,006 -2,010

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