Exercício 2. Dado o sistema linear
, onde e ,
Use
para obter
com o Método de Gauss-Seidel.
Use
Passo 1
Beleza, galera! A questão pede que a gente faça uma iteração do Método de Gauss–Seidel para o sistema linear
onde
$$A=
b=
xi^(k+1) = 1aii(bi - sumj=1^i-1aij,xj^(k+1) - sumj=i+1^naij,xj^(k)) ,\quad
x^{(0)}=
.
ú é é ó x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i - \sum_{j=1}{i-1}a_{ij},x_j{(k+1)} - \sum_{j=i+1}{n}a_{ij},x_j{(k)}\Big).$$
Passo 2
Calcular
x1^(1) .
- A equação da primeira componente é$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1;\Longrightarrow;-2,x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = -1.
x_1^{(1)} = \frac{1}{a_{11}}\bigl(b_1 - a_{12},x_2^{(0)} - a_{13},x_3^{(0)}\bigr)= \frac{1}{-2}\bigl(-1 - 1\cdot0.95 - 0\cdot0.95\bigr).a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ;Longrightarrow;-2,x1 + 1cdot x2 + 0cdot x3 = -1 x_1^{(1)} = -\tfrac12\bigl(-1.95\bigr) = 0.975.$$x1 ã
Passo 3
Calcular
x2^(1) .
- A equação da segunda componente:
1cdot x1 -2,x2 +1cdot x3 = 0
- Usando ex1^(1) :x3^(0)
$$x_2^{(1)} = \frac{1}{-2}\bigl(0 - 1\cdot0.975 - 1\cdot0.95\bigr)= -\tfrac12\bigl(-1.925\bigr) = 0.9625.$$
Passo 4
Calcular
x3^(1) .
- A equação da terceira componente:
0cdot x1 +1cdot x2 -2,x3 = -1
- Usando :x2^(1)
$$x_3^{(1)} = \frac{1}{-2}\bigl(-1 - 1\cdot0.9625 - 0\cdot x_1\bigr)= -\tfrac12\bigl(-1.9625\bigr) = 0.98125.$$