Exercício 1. Dados

A=(crrcc 5 & -3 & -3 & 0 & 0 -5 & 4 & 4 & 0 & 1 2,5 & -2,5 & -2,3 & -1,2 & 2,2 -2,5 & 2,2 & 3,2 & -1 & 1,7 -1,25 & 1,5 & 0,5 & 5 & -4,25 ) e b=(c 1 2 3,7 7,6 -24 )
calcule det(A), as matrizes P, L e U da decomposição L U de A, determine se o S E L A x=b possue solução (quantas), e caso tenha, as calcule.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(A), a decomposição PA=LU (isto é, encontrar as matrizes P, L e U) e, em seguida, usar essa decomposição para resolver o sistema Ax=b. Vamos aplicar eliminação de Gauss com pivotamento parcial para identificar P, extrair os multiplicadores em L e obter U, depois usar LU para achar det(A) e resolver Ax=b.

Passo 2

Primeiro construímos a matriz de permutações P. Ao buscar pivôs de maior módulo temos:
– na 1.ª coluna o pivô em ,a11=5, sem permuta;
– na 3.ª coluna, após a eliminação dos subelementos na 1.ª e 2.ª colunas, o maior pivô em módulo é a entrada da linha 4 e trocamos linha 3 com linha 4;
– na 4.ª coluna o maior pivô é então na linha 5 (após a troca anterior) e trocamos linha 4 com linha 5.
O resultado é
P= 1&0&0&0&0 0&1&0&0&0 0&0&0&1&0 0&0&0&0&1 0&0&1&0&0 , PA= 5&-3&-3&0&0 -5&4&4&0&1 -2,5&2,2&3,2&-1&1,7 -1,25&1,5&0,5&5&-4,25 2,5&-2,5&-2,3&-1,2&2,2

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss em PA (sem novo pivot), extraímos os multiplicadores mij e obtemos
L= 1&0&0&0&0 -1&1&0&0&0 -0,5&0,7&1&0&0 -0,25&0,75&0,2&1&0 0,5&-1&-1&-0,25&1 , U= 5&-3&-3&0&0 0&1&1&0&1 0&0&1&-1&1 0&0&0&4&-4 0&0&0&0&2

Passo 4

Como det(A)=det(P)^-1det(L)det(U), e det(P)=(-1)^2=1, det(L)=1, segue
det(A)=5cdot1cdot1cdot4cdot2=40

Passo 5

Para resolver Ax=b escrevemos PAx=LUx=Pb. Primeiro
Pb=127,6-243,7
Resolvendo Ly=Pb por substituição progressiva:
y1=1,
-1cdot y1+y2=2implies y2=3,
-0,5y1+0,7y2+y3=7,6implies y3=6,
-0,25y1+0,75y2+0,2y3+y4=-24implies y4=-27,2,
0,5y1-1y2-1y3-0,25y4+y5=3,7implies y5=5,4.
Depois Ux=y por substituição regressiva:
2x5=5,4implies x5=2,7, 4x4-4x5=-27,2implies x4=-4,1, x3- x4+x5=6implies x3=-0,8,
x2+x3+x5=3implies x2=1,1, 5x1-3x2-3x3=1implies x1=0,38

Resposta

det(A)=40
P= 1&0&0&0&0 0&1&0&0&0 0&0&0&1&0 0&0&0&0&1 0&0&1&0&0 , L= 1&0&0&0&0 -1&1&0&0&0 -0,5&0,7&1&0&0 -0,25&0,75&0,2&1&0 0,5&-1&-1&-0,25&1 , U= 5&-3&-3&0&0 0&1&1&0&1 0&0&1&-1&1 0&0&0&4&-4 0&0&0&0&2
O sistema Ax=b tem solução única
x= 0,38 1,1 -0,8 -4,1 2,7

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