Questão 9 Dado um conjunto de pontos :
(a) Determine o conjunto de equações normais que permita fazer o ajuste .
(b) Interprete a equação do sistema de equações normais relativa à derivada parcial da função desvio em relação ao parâmetro . Quais são suas consequências geométricas ?
(c) O mesmo fato seria observado pelo ajuste se o modelo fosse ?
Passo 1
O enunciado pede o ajuste por mínimos quadrados de um modelo do tipo
a um conjunto de pontos .
Conteúdo: derivar as equações normais (parte a), interpretar a equação associada à derivada parcial em (parte b) e verificar o que muda se não houver o parâmetro constante (parte c).
Passo 2
Definimos a soma dos quadrados dos resíduos
Para determinar os parâmetros fazemos , e . Calculando cada uma:
Agrupando, as equações normais ficam
Passo 3
A equação relativa a é
Isto significa que a soma dos resíduos é zero, ou seja,
Geométricamente, isso implica que o ajuste “equilibra” os erros positivos e negativos: a reta (ou superfície) ajustada passa pelo ponto médio dos dados em , garantindo que a média dos valores ajustados seja igual à média dos valores observados.
Passo 4
Se removermos o termo constante e usar o modelo
não há derivada em relação a e, portanto, não surge a condição . Em geral os resíduos não somarão zero e a propriedade de “passar pelo centro dos dados em ” desaparece.
Resposta
(a) As equações normais são
(b) A equação de partial S/partial c=0 impõe sumi=1^n (yi-u(xi))=0, isto é, os resíduos somam zero, garantindo que a média dos valores ajustados seja igual à dos observados (o ajuste “passa pelo centro” dos dados).
(c) Sem o parâmetro c, essa condição sum ri=0 não existe, logo os resíduos não se equilibram em soma e a propriedade geométrica se perde.