Questão 9 Dado um conjunto de pontos (xi, yi): i=1, ldots, n :
(a) Determine o conjunto de equações normais que permita fazer o ajuste u(x)=a cos (x)+b e^x+c.
(b) Interprete a equação do sistema de equações normais relativa à derivada parcial da função desvio em relação ao parâmetro c. Quais são suas consequências geométricas ?
(c) O mesmo fato seria observado pelo ajuste se o modelo fosse u(x)=a cos (x)+b e^x ?

Passo 1

O enunciado pede o ajuste por mínimos quadrados de um modelo do tipo
u(x)=acos(x)+b e^x+c
a um conjunto de pontos (xi,yi)colon i=1,dots,n.
Conteúdo: derivar as equações normais (parte a), interpretar a equação associada à derivada parcial em c (parte b) e verificar o que muda se não houver o parâmetro constante c (parte c).

Passo 2

Definimos a soma dos quadrados dos resíduos
S(a,b,c)=sumi=1^nl(yi - acos(xi)-b e^xi-cr)^2
Para determinar os parâmetros fazemos partial S/partial a=0, partial S/partial b=0 e partial S/partial c=0. Calculando cada uma:
partial Spartial a =-2sumi=1^nl(yi - acos xi - b e^xi-cr)cos xi=0,
partial Spartial b =-2sumi=1^nl(yi - acos xi - b e^xi-cr)e^xi=0,
partial Spartial c =-2sumi=1^nl(yi - acos xi - b e^xi-cr)=0
Agrupando, as equações normais ficam
asumcos^2xi ;+;bsumcos xi,e^xi;+;csumcos xi =sum yicos xi,
asumcos xi,e^xi;+;bsum e^2xi;+;csum e^xi =sum yi e^xi,
asumcos xi;+;bsum e^xi;+;c,n =sum yi

Passo 3

A equação relativa a partial S/partial c=0 é
sumi=1^nl(yi - u(xi)r)=0
Isto significa que a soma dos resíduos é zero, ou seja,
sumi=1^n ri=0, ri=yi-u(xi)
Geométricamente, isso implica que o ajuste “equilibra” os erros positivos e negativos: a reta (ou superfície) ajustada passa pelo ponto médio dos dados em y, garantindo que a média dos valores ajustados seja igual à média dos valores observados.

Passo 4

Se removermos o termo constante c e usar o modelo
u(x)=acos(x)+b e^x,
não há derivada em relação a c e, portanto, não surge a condição sum ri=0. Em geral os resíduos não somarão zero e a propriedade de “passar pelo centro dos dados em y” desaparece.

Resposta

(a) As equações normais são
asumcos^2xi + bsumcos xi,e^xi + csumcos xi = sum yicos xi, asumcos xi,e^xi + bsum e^2xi + csum e^xi = sum yi e^xi, asumcos xi + bsum e^xi + c,n = sum yi
(b) A equação de partial S/partial c=0 impõe sumi=1^n (yi-u(xi))=0, isto é, os resíduos somam zero, garantindo que a média dos valores ajustados seja igual à dos observados (o ajuste “passa pelo centro” dos dados).
(c) Sem o parâmetro c, essa condição sum ri=0 não existe, logo os resíduos não se equilibram em soma e a propriedade geométrica se perde.

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