Resolva o sistema não linear abaixo usando o método de Newton modificado e varepsilon=10^-4.
l 4 x1-x1^3+x2=0 -x1^29+4 x2-x2^24=-1 x^(0)=(-1,-2)^T

Passo 1

Temos o sistema
4x1-x1^3+x2=0,[6pt] -dfracx1^29+dfrac4x2-x2^24=-1, ,
\quad x{(0)}=(-1,-2){T},
]
e queremos usar o método de Newton modificado com tolerância varepsilon=10^-4. No método de Newton modificado, congelamos a jacobiana no ponto inicial x^(0), ou seja, usamos sempre
Jl(x^(0)r)^-1
para todas as iterações. A cada passo calculamos
x^(k+1)=x^(k)-Jl(x^(0)r)^-1Fl(x^(k)r),
onde F=(F1,F2)^T representa o lado esquerdo do sistema igualado a zero.

Passo 2

Calculamos a jacobiana em x^(0)=(-1,-2). As derivadas são
partial F1partial x1=4-3x1^2, partial F1partial x2=1,
partial F2partial x1=-2x19, partial F2partial x2=4-2x24
Em x^(0)
Jl(x^(0)r) = 1 & 1[4pt] tfrac29 & 2 ,
cujo determinante é det=2-tfrac29=tfrac169. Logo
Jl(x^(0)r)^-1 =916 2 & -1[4pt] -tfrac29 & 1 = dfrac98 & -dfrac916[6pt] -dfrac18 & dfrac916 ]

Passo 3

Definimos
F1(x1,x2)=4x1-x1^3+x2, F2(x1,x2)=-x1^29+4x2-x2^24+1,
de modo que o sistema vire F(x)=0. Assim, a regra de iteração é
x^(k+1) = x^(k) - dfrac98 & -dfrac916[6pt] -dfrac18 & dfrac916 F1l(x^(k)r)[4pt] F2l(x^(k)r) ]

Passo 4

No ponto x^(0)=(-1,-2) temos
F1(-1,-2)=-5, F2(-1,-2)=-199approx -2,1111
Calculando a correção
De<a x^(0)= Jl(x^(0)r)^-1F(x^(0)) approx -4,4375[3pt]-0,5625,
vem
x^(1)=x^(0)-De<a x^(0) approx 3,4375[3pt]-1,4375
A norma da diferença é |De<a x^(0)|approx4,48>varepsilon, então continuam as iterações.]

Passo 5

Em x^(1)approx(3,4375,,-1,4375) computamos
F1approx -28,3245, F2approx -2,2671
e obtivemos correção
De<a x^(1) approx -30,6396[3pt]2,2631,
logo
x^(2)=x^(1)-De<a x^(1) approx 34,0771[3pt]-3,7006 ]

Passo 6

Vemos que as iterações estão em crescimento muito grande, em vez de convergirem. A cada passo o vetor x^(k) afasta-se do ponto de solução. Concluímos que, para o chute inicial dado e com a jacobiana congelada em x^(0), o método de Newton modificado não converge.

Resposta

O método de Newton modificado com x^(0)=(-1,-2)^T e varepsilon=10^-4 diverge.

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