Exercício 6 - Diferentes funções
Para cada equação abaixo, isole uma raiz em um intervalo
adequado (use o Teorema de Bolzano) e realize 5 iterações da bisseção, organizando os resultados em tabela.
(encontre a raiz em
)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede:
- Isolar uma raiz no intervalo
usando o Teorema de Bolzano. - Realizar
iterações do método da bisseção para essa raiz e organizar os resultados em tabela.
Informações fornecidas explicitamente:
- A função a estudar é
. - O intervalo dado para procurar a raiz é
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teorema de Bolzano (também chamado Teorema do Valor Intermediário) para garantir que existe pelo menos uma raiz em
.
Enunciado do Teorema de Bolzano (versão útil aqui):
Se é contínua em
e
, então existe pelo menos um
tal que
.
Se
Por que isso vale aqui?
-
é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em todo . Logo é contínua em . - Calcular
nas extremidades:
Observa-se que
e
. Portanto
.
- Pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz em
. Assim o intervalo inicial isola uma raiz.
Boa notícia: temos garantia de raiz e um intervalo inicial pronto para a bisseção.
Passo 3
Explicando o método da bisseção (passo a passo, do jeitinho que cai na prova):
- Começamos com um intervalo
tal que . - Em cada iteração
calculamos o ponto médio - Avaliamos
. Se encontramos a raiz exata (raro em exercícios numéricos). Caso contrário, verificamos o sinal: - Se
, a raiz está em . Então definimos , . - Se
, a raiz está em . Então definimos , .
- Se
- Repetimos até a precisão desejada ou até o número de iterações pedido.
Propriedade útil sobre erro: após
iterações o comprimento do intervalo é
Um candidato para a raiz é
(o ponto médio da iteração
), e o erro em máximo é no máximo
em relação à raiz real.
Agora vamos executar as
iterações pedidas, quebrando as contas passo a passo.
Passo 4
Iteração 1:
- Intervalo inicial:
, . - Ponto médio:
- Avaliar
nos pontos:
- Observação de sinais:
e . Então há mudança de sinal em . - Escolhemos
, .
Passo 5
Iteração 2:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliar
em :
- Sinal:
e então a raiz está em . - Escolhemos
, .
Passo 6
Iteração 3:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliar
em :
- Sinal:
e . Portanto a raiz está em . - Escolhemos
, .
Passo 7
Iteração 4:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliar
em :
- Sinal:
e . Então a raiz está em . - Escolhemos
, .
Passo 8
Iteração 5:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliar
em :
- Sinal:
e . Então a raiz está em . - Após
iterações o intervalo que isola a raiz é .
Comentário sobre o erro: o comprimento inicial era
. Após
iterações o comprimento do intervalo é
Assim o ponto médio
tem erro máximo em relação à raiz verdadeiro no máximo
(mais precisamente, erro
).
Passo 9
Tabela com as
iterações da bisseção (cada linha: iteração,
,
,
,
,
,
, intervalo escolhido):
| Iter |
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Intervalo escolhido |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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| 4 |
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| 5 |
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Resposta
| Iter |
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Intervalo escolhido |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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| 4 |
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| 5 |
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