Exercício 6 - Diferentes funções
Para cada equação abaixo, isole uma raiz em um intervalo a, b adequado (use o Teorema de Bolzano) e realize 5 iterações da bisseção, organizando os resultados em tabela.
x^{4}-3 x^{3}+1=0 \quad (encontre a raiz em 0,1 )

Passo 1

O enunciado dá a equação x^{4}-3x^{3}+1=0 e pede:
  • Isolar uma raiz no intervalo [0,1] usando o Teorema de Bolzano.
  • Realizar 5 iterações do método da bisseção para essa raiz e organizar os resultados em tabela.
Informações fornecidas explicitamente:
  • A função a estudar é f(x)=x^{4}-3x^{3}+1.
  • O intervalo dado para procurar a raiz é [0,1].

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teorema de Bolzano (também chamado Teorema do Valor Intermediário) para garantir que existe pelo menos uma raiz em [0,1].
Enunciado do Teorema de Bolzano (versão útil aqui):
Se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Por que isso vale aqui?
  • f(x)=x^{4}-3x^{3}+1 é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Logo f é contínua em [0,1].
  • Calcular f nas extremidades: f(0)=0^{4}-3\cdot0^{3}+1=1,
f(1)=1^{4}-3\cdot1^{3}+1=1-3+1=-1.
Observa-se que f(0)=1>0 e f(1)=-1<0. Portanto f(0)\cdot f(1)<0.
  • Pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz em (0,1). Assim o intervalo inicial [0,1] isola uma raiz.
Boa notícia: temos garantia de raiz e um intervalo inicial pronto para a bisseção.

Passo 3

Explicando o método da bisseção (passo a passo, do jeitinho que cai na prova):
  • Começamos com um intervalo [a_0,b_0] tal que f(a_0)\cdot f(b_0)<0.
  • Em cada iteração k calculamos o ponto médio c_k=\frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}.
  • Avaliamos f(c_k). Se f(c_k)=0 encontramos a raiz exata (raro em exercícios numéricos). Caso contrário, verificamos o sinal:
    • Se f(a_{k-1})\cdot f(c_k)<0, a raiz está em [a_{k-1},c_k]. Então definimos a_k=a_{k-1}, b_k=c_k.
    • Se f(c_k)\cdot f(b_{k-1})<0, a raiz está em [c_k,b_{k-1}]. Então definimos a_k=c_k, b_k=b_{k-1}.
  • Repetimos até a precisão desejada ou até o número de iterações pedido.
Propriedade útil sobre erro: após n iterações o comprimento do intervalo é
b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^{n}}.
Um candidato para a raiz é c_n (o ponto médio da iteração n), e o erro em máximo é no máximo (b_0-a_0)/2^{n+1} em relação à raiz real.
Agora vamos executar as 5 iterações pedidas, quebrando as contas passo a passo.

Passo 4

Iteração 1:
  • Intervalo inicial: a_{0}=0, b_{0}=1.
  • Ponto médio: c_{1}=\frac{a_{0}+b_{0}}{2}=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
  • Avaliar f nos pontos: f(0)=1 \quad(\text{já calculado}),á
f(1)=-1,
f(0{,}5)=(0{,}5)^{4}-3(0{,}5)^{3}+1=0{,}0625-0{,}375+1=0{,}6875.
  • Observação de sinais: f(0{,}5)=0{,}6875>0 e f(1)=-1<0. Então há mudança de sinal em [0{,}5,1].
  • Escolhemos a_{1}=0{,}5, b_{1}=1.

Passo 5

Iteração 2:
  • Intervalo atual: a_{1}=0{,}5, b_{1}=1.
  • Ponto médio: c_{2}=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
  • Avaliar f em c_{2}: (0{,}75)^{2}=0{,}5625,\quad (0{,}75)^{3}=0{,}421875,\quad (0{,}75)^{4}=0{,}31640625,
f(0{,}75)=0{,}31640625-3\cdot0{,}421875+1=0{,}31640625-1{,}265625+1=0{,}05078125.
  • Sinal: f(0{,}75)>0 e f(1)<0 então a raiz está em [0{,}75,1].
  • Escolhemos a_{2}=0{,}75, b_{2}=1.

Passo 6

Iteração 3:
  • Intervalo atual: a_{2}=0{,}75, b_{2}=1.
  • Ponto médio: c_{3}=\frac{0{,}75+1}{2}=0{,}875.
  • Avaliar f em c_{3}: (0{,}875)^{2}=0{,}765625,\quad (0{,}875)^{3}=0{,}669921875,\quad (0{,}875)^{4}=0{,}586181640625,
f(0{,}875)=0{,}586181640625-3\cdot0{,}669921875+1=0{,}586181640625-2{,}009765625+1=-0{,}423583984375.
  • Sinal: f(0{,}75)=0{,}05078125>0 e f(0{,}875)=-0{,}423583984375<0. Portanto a raiz está em [0{,}75,0{,}875].
  • Escolhemos a_{3}=0{,}75, b_{3}=0{,}875.

Passo 7

Iteração 4:
  • Intervalo atual: a_{3}=0{,}75, b_{3}=0{,}875.
  • Ponto médio: c_{4}=\frac{0{,}75+0{,}875}{2}=0{,}8125.
  • Avaliar f em c_{4}: (0{,}8125)^{2}=0{,}66015625,\quad (0{,}8125)^{3}=0{,}536376953125,
(0{,}8125)^{4}=0{,}435089111328125,
f(0{,}8125)=0{,}435089111328125-3\cdot0{,}536376953125+1
\quad=0{,}435089111328125-1{,}609130859375+1=-0{,}174041748046875.
  • Sinal: f(0{,}75)>0 e f(0{,}8125)<0. Então a raiz está em [0{,}75,0{,}8125].
  • Escolhemos a_{4}=0{,}75, b_{4}=0{,}8125.

Passo 8

Iteração 5:
  • Intervalo atual: a_{4}=0{,}75, b_{4}=0{,}8125.
  • Ponto médio: c_{5}=\frac{0{,}75+0{,}8125}{2}=0{,}78125.
  • Avaliar f em c_{5}: (0{,}78125)^{2}=0{,}6103515625,\quad (0{,}78125)^{3}=0{,}476837158203125,
(0{,}78125)^{4}=0{,}37252902984619140625,
f(0{,}78125)=0{,}3725290298461914-3\cdot0{,}476837158203125+1
\quad=0{,}3725290298461914-1{,}430511474609375+1=-0{,}0579824447631836.
  • Sinal: f(0{,}75)>0 e f(0{,}78125)<0. Então a raiz está em [0{,}75,0{,}78125].
  • Após 5 iterações o intervalo que isola a raiz é [0{,}75,0{,}78125].
Comentário sobre o erro: o comprimento inicial era b_{0}-a_{0}=1. Após 5 iterações o comprimento do intervalo é
b_{5}-a_{5}=\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32}=0{,}03125.
Assim o ponto médio c_{5}=0{,}78125 tem erro máximo em relação à raiz verdadeiro no máximo \dfrac{1}{2^{6}}=0{,}015625 (mais precisamente, erro \le (b_5-a_5)/2).

Passo 9

Tabela com as 5 iterações da bisseção (cada linha: iteração, a, b, c, f(a), f(b), f\text{(c)}, intervalo escolhido):
Iter a b c f(a) f(b) f\text{(c)} Intervalo escolhido
1 0 1 0{,}5 1 -1 0{,}6875 [0{,}5,1]
2 0{,}5 1 0{,}75 0{,}6875 -1 0{,}05078125 [0{,}75,1]
3 0{,}75 1 0{,}875 0{,}05078125 -1 -0{,}423583984375 [0{,}75,0{,}875]
4 0{,}75 0{,}875 0{,}8125 0{,}05078125 -0{,}423583984375 -0{,}174041748046875 [0{,}75,0{,}8125]
5 0{,}75 0{,}8125 0{,}78125 0{,}05078125 -0{,}174041748046875 -0{,}0579824447631836 [0{,}75,0{,}78125]

Resposta

Iter a b c f(a) f(b) f\text{(c)} Intervalo escolhido
1 0 1 0{,}5 1 -1 0{,}6875 [0{,}5,1]
2 0{,}5 1 0{,}75 0{,}6875 -1 0{,}05078125 [0{,}75,1]
3 0{,}75 1 0{,}875 0{,}05078125 -1 -0{,}423583984375 [0{,}75,0{,}875]
4 0{,}75 0{,}875 0{,}8125 0{,}05078125 -0{,}423583984375 -0{,}174041748046875 [0{,}75,0{,}8125]
5 0{,}75 0{,}8125 0{,}78125 0{,}05078125 -0{,}174041748046875 -0{,}0579824447631836 [0{,}75,0{,}78125]

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