Exercício 6 - Diferentes funções
Para cada equação abaixo, isole uma raiz em um intervalo a, b adequado (use o Teorema de Bolzano) e realize 5 iterações da bisseção, organizando os resultados em tabela.
e^{x}=3 x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) isolar uma raiz da equação e^{x}=3x em um intervalo [a,b] adequado usando o Teorema de Bolzano; (2) aplicar o método da bisseção por 5 iterações e organizar os resultados em tabela.
Informação dada: a equação é e^{x}=3x. Não há outras informações numéricas no enunciado.

Passo 2

Primeiro transformamos a equação em uma forma padrão para achar raízes. Defino a função
f(x)=e^{x}-3x.
Então procurar soluções de e^{x}=3x é equivalente a procurar zeros de f, isto é, resolver f(x)=0. Aqui:
  • x é a variável independente;
  • e^{x} é a exponencial natural;
  • f(x) é a função cuja raiz queremos isolar.

Passo 3

Vou aplicar o Teorema de Bolzano (também chamado Teorema do Valor Intermediário para sinais): se f é contínua em [a,b] e os valores f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
A função f(x)=e^{x}-3x é contínua em toda a reta real (soma de funções contínuas), logo posso procurar um par [a,b] com sinais opostos.
Calculo alguns valores candidatos:
f(0)=e^{0}-3\cdot0=1-0=1>0,
f(1)=e^{1}-3\cdot1\approx 2,718281828-3=-0,281718172<0.
Como f(0)>0 e f(1)<0, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Portanto já isolei uma raiz nessa faixa: [a,b]=[0,1].

Passo 4

Agora explico o método da bisseção (bem didático): dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, o procedimento de cada iteração é:
  1. calcular o ponto médio \displaystyle m=\frac{a+b}{2};
  2. avaliar f(m);
  3. se f(m)=0 encontramos a raiz exata; se não, escolher o subintervalo [a,m] se f(a)\cdot f(m)<0, ou [m,b] se f(m)\cdot f(b)<0. Assim o intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade.
    Cada iteração garante que a nova largura do intervalo é a metade da anterior. Vou aplicar exatamente esse procedimento por 5 iterações, anotando em cada passo os valores de a, b, m e f nesses pontos.

Passo 5

Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[0,1].
Calculo o ponto médio:
m_1=\frac{0+1}{2}=0,5.
Avalio f:
f(0)=1,\qquad f(1)\approx-0,281718172,
f(0,5)=e^{0,5}-3\cdot0,5\approx 1,648721271-1,5=0,148721271>0.
Sinais: f(0)>0 e f(0,5)>0, mas f(1)<0. Como f(0,5)\cdot f(1)<0, a raiz está em [0,5,\,1] reduzido para [0,5,\,1] → escolha o subintervalo [0,5,\,1] com extremos [a_1,b_1]=[0,5,1]. (Praticamente: mantemos a metade direita porque f muda de sinal entre 0,5 e 1.) Para uniformidade abaixo vou escrever sempre com vírgula decimal.

Passo 6

Intervalo atual: [a_1,b_1]=[0,5,\,1].
Ponto médio:
m_2=\frac{0,5+1}{2}=0,75.
Avalio:
f(0,5)\approx 0,148721271,\qquad f(1)\approx -0,281718172,
f(0,75)=e^{0,75}-3\cdot0,75\approx 2,117000017-2,25=-0,132999983<0.
Sinais: f(0,5)>0 e f(0,75)<0, logo a raiz está em [0,5,\,0,75]. Novo intervalo [a_2,b_2]=[0,5,\,0,75].

Passo 7

Intervalo atual: [a_2,b_2]=[0,5,\,0,75].
Ponto médio:
m_3=\frac{0,5+0,75}{2}=0,625.
Avalio:
f(0,625)=e^{0,625}-3\cdot0,625\approx 1,868245957-1,875=-0,006754043\\ (<0).
Como f(0,5)>0 e f(0,625)<0, a raiz está em [0,5,\,0,625]. Novo intervalo [a_3,b_3]=[0,5,\,0,625].

Passo 8

Intervalo atual: [a_3,b_3]=[0,5,\,0,625].
Ponto médio:
m_4=\frac{0,5+0,625}{2}=0,5625.
Avalio:
f(0,5625)=e^{0,5625}-3\cdot0,5625\approx 1,755054657-1,6875=0,067554657\\ (>0).
Agora f(0,5625)>0 e f(0,625)<0, então a raiz está em [0,5625,\,0,625]. Novo intervalo [a_4,b_4]=[0,5625,\,0,625].

Passo 9

Intervalo atual: [a_4,b_4]=[0,5625,\,0,625].
Ponto médio:
m_5=\frac{0,5625+0,625}{2}=0,59375.
Avalio:
f(0,59375)=e^{0,59375}-3\cdot0,59375\approx 1,810764297-1,78125=0,029514297\\ (>0).
Como f(0,59375)>0 e f(0,625)<0, a raiz está em [0,59375,\,0,625].

Passo 10

A tabela abaixo resume cada iteração: colunas são iteração n, intervalo [a_n,b_n], ponto médio m_n e os valores f(a_n),f(m_n),f(b_n).
n [a_n,b_n] m_n f(a_n) f(m_n) f(b_n)
0 [0,\,1] 0,5 f(0)=1 f(0,5)\approx0,148721271 f(1)\approx-0,281718172
1 [0,5,\,1] 0,75 f(0,5)\approx0,148721271 f(0,75)\approx-0,132999983 f(1)\approx-0,281718172
2 [0,5,\,0,75] 0,625 f(0,5)\approx0,148721271 f(0,625)\approx-0,006754043 f(0,75)\approx-0,132999983
3 [0,5,\,0,625] 0,5625 f(0,5)\approx0,148721271 f(0,5625)\approx0,067554657 f(0,625)\approx-0,006754043
4 [0,5625,\,0,625] 0,59375 f(0,5625)\approx0,067554657 f(0,59375)\approx0,029514297 f(0,625)\approx-0,006754043
Observação: os valores de e^{x} foram aproximados com precisão compatível com cálculos de mão/pois sem calculadora de alta precisão; as decisões de sinal são robustas dada essa precisão.

Resposta

[0,59375,\,0,625]
x\approx0,609375

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