Exercício 6 - Diferentes funções
Para cada equação abaixo, isole uma raiz em um intervalo
adequado (use o Teorema de Bolzano) e realize 5 iterações da bisseção, organizando os resultados em tabela.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) isolar uma raiz da equação
em um intervalo
adequado usando o Teorema de Bolzano; (2) aplicar o método da bisseção por 5 iterações e organizar os resultados em tabela.
Informação dada: a equação é . Não há outras informações numéricas no enunciado.
Informação dada: a equação é
Passo 2
Primeiro transformamos a equação em uma forma padrão para achar raízes. Defino a função
Então procurar soluções de
é equivalente a procurar zeros de
, isto é, resolver
. Aqui:
-
é a variável independente; -
é a exponencial natural; -
é a função cuja raiz queremos isolar.
Passo 3
Vou aplicar o Teorema de Bolzano (também chamado Teorema do Valor Intermediário para sinais): se
é contínua em
e os valores
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um
tal que
.
A função é contínua em toda a reta real (soma de funções contínuas), logo posso procurar um par
com sinais opostos.
A função
Calculo alguns valores candidatos:
Como
e
, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz em
. Portanto já isolei uma raiz nessa faixa:
.
Passo 4
Agora explico o método da bisseção (bem didático): dado um intervalo
com
, o procedimento de cada iteração é:
- calcular o ponto médio
; - avaliar
; - se
encontramos a raiz exata; se não, escolher o subintervalo se , ou se . Assim o intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade.
Cada iteração garante que a nova largura do intervalo é a metade da anterior. Vou aplicar exatamente esse procedimento por 5 iterações, anotando em cada passo os valores de, , e nesses pontos.
Passo 5
Intervalo inicial:
.
Calculo o ponto médio:
Calculo o ponto médio:
Avalio
:
Sinais:
e
, mas
. Como
, a raiz está em
reduzido para
→ escolha o subintervalo
com extremos
. (Praticamente: mantemos a metade direita porque
muda de sinal entre
e
.) Para uniformidade abaixo vou escrever sempre com vírgula decimal.
Passo 6
Intervalo atual:
.
Ponto médio:
Ponto médio:
Avalio:
Sinais:
e
, logo a raiz está em
. Novo intervalo
.
Passo 7
Intervalo atual:
.
Ponto médio:
Ponto médio:
Avalio:
Como
e
, a raiz está em
. Novo intervalo
.
Passo 8
Intervalo atual:
.
Ponto médio:
Ponto médio:
Avalio:
Agora
e
, então a raiz está em
. Novo intervalo
.
Passo 9
Intervalo atual:
.
Ponto médio:
Ponto médio:
Avalio:
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 10
A tabela abaixo resume cada iteração: colunas são iteração
, intervalo
, ponto médio
e os valores
.
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|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
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| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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| 4 |
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Observação: os valores de
foram aproximados com precisão compatível com cálculos de mão/pois sem calculadora de alta precisão; as decisões de sinal são robustas dada essa precisão.