Exercício 1.1. Estude a convergência das sequências:
\sqrt{n^{2}+n}-n

Passo 1

O problema pede: estudar a convergência da sequência \,a_n=\sqrt{n^{2}+n}-n\, quando n\to\infty.\n
Informações dadas:
  • A sequência é definida para n\in\mathbb{N}.
  • Precisa-se saber se a_n converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando uma técnica clássica: multiplicar e dividir pela conjugada para eliminar a diferença envolvendo a raiz. Começo por escrever
a_n=\sqrt{n^{2}+n}-n.
Multiplicando e dividindo por \sqrt{n^{2}+n}+n (a conjugada) obtemos
a_n=\bigl(\sqrt{n^{2}+n}-n\bigr)\cdot\frac{\sqrt{n^{2}+n}+n}{\sqrt{n^{2}+n}+n} =\frac{(\sqrt{n^{2}+n})^{2}-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+n}+n}.
Agora simplifico o numerador:
(\sqrt{n^{2}+n})^{2}-n^{2}=n^{2}+n-n^{2}=n.
Portanto
a_n=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n}.

Passo 3

Fatorando n no denominador para deixar a expressão em termos de 1/n:
a_n=\frac{n}{n\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}+n} =\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}+1}.
Essa forma é muito útil: transforma a sequência em uma função simples de \tfrac{1}{n}.

Passo 4

Antes de calcular o limite, vamos ver propriedades úteis (isso ajuda na prova e também na prova oral da prova!):
  • Positividade: como \sqrt{n^{2}+n}>\sqrt{n^{2}}=n, tem-se a_n>0 para todo n.
  • Majorante simples: para todo n temos \sqrt{1+\tfrac{1}{n}}>1, então \sqrt{1+\tfrac{1}{n}}+1>2 e, assim,
0<a_n=\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}+1}<\frac{1}{2}.
Logo (a_n) é positiva e está limitada superiormente por \tfrac{1}{2}.
  • Monotonicidade (importante para entender o comportamento): note que n\mapsto \tfrac{1}{n} é decrescente, logo \sqrt{1+\tfrac{1}{n}} também é decrescente em n. Assim o denominador \sqrt{1+\tfrac{1}{n}}+1 é decrescente em n, e o recíproco é crescente. Portanto (a_n) é crescente. (Intuição: à medida que n cresce, 1/n fica menor, a raiz fica mais próxima de 1, o denominador diminui e o recíproco aumenta.)

Passo 5

Cálculo do limite. Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
A função t\mapsto\sqrt{1+t} é contínua em torno de t=0, então
\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}=\sqrt{1+0}=1.
Como a função u\mapsto \dfrac{1}{u+1} é contínua em u=1, aplicando limite à expressão de \,a_n=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}+1}\, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Também podemos ver a conclusão pelo encadeamento: 0<a_n<\tfrac{1}{2} e a_n é crescente, portanto converge para seu supremo; o cálculo acima mostra que esse supremo é \tfrac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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