Exercício 1.1. Estude a convergência das sequências:
Passo 1
O problema pede: estudar a convergência da sequência
quando
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência é definida para
. - Precisa-se saber se
converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando uma técnica clássica: multiplicar e dividir pela conjugada para eliminar a diferença envolvendo a raiz. Começo por escrever
Multiplicando e dividindo por
(a conjugada) obtemos
Agora simplifico o numerador:
Portanto
Passo 3
Fatorando
no denominador para deixar a expressão em termos de
:
Essa forma é muito útil: transforma a sequência em uma função simples de
.
Passo 4
Antes de calcular o limite, vamos ver propriedades úteis (isso ajuda na prova e também na prova oral da prova!):
- Positividade: como
, tem-se para todo . - Majorante simples: para todo
temos , então e, assim,
Logo
é positiva e está limitada superiormente por
.
- Monotonicidade (importante para entender o comportamento): note que
é decrescente, logo também é decrescente em . Assim o denominador é decrescente em , e o recíproco é crescente. Portanto é crescente. (Intuição: à medida que cresce, fica menor, a raiz fica mais próxima de , o denominador diminui e o recíproco aumenta.)
Passo 5
Cálculo do limite. Sabemos que
A função
é contínua em torno de
, então
Como a função
é contínua em
, aplicando limite à expressão de
obtemos
Também podemos ver a conclusão pelo encadeamento:
e
é crescente, portanto converge para seu supremo; o cálculo acima mostra que esse supremo é
.