Exercício 1.1. Estude a convergência das sequências:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência é dada termo a termo por
. - Para
temos . - Para
temos . - Para
o termo é positivo, logo para .
O que se pede: determinar seconverge quando e, se convergir, achar o limite.
Passo 2
Estratégia (não resolvo ainda, só explico a ideia que é útil na prova).
Quando aparecerem sequências do tipo é muito comum tomar o logaritmo natural para simplificar o expoente e transformar potência em produto. Depois de achar o limite do logaritmo, volta-se exponenciando (pois a função exponencial é contínua). Um detalhe técnico: como
só está definido para argumentos positivos, observa-se que os termos da sequência são positivos a partir de
; isso basta, porque a convergência de uma sequência depende apenas do comportamento para
grande (os primeiros termos não importam). Portanto podemos estudar a sequência a partir de
e aplicar o logaritmo.
Quando aparecerem sequências do tipo
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural ao termo geral (para
):
Queremos calcular
Uma maneira simples é usar a substituição
. Note que
quando
e
Logo é suficiente encontrar
.
Passo 4
Calcular
.
Esse é um limite clássico; pode-se usar o Teorema de l’Hôpital (ou a interpretação como derivada de em
). Aplicando l’Hôpital:
Esse é um limite clássico; pode-se usar o Teorema de l’Hôpital (ou a interpretação como derivada de
Portanto
.
Passo 5
Voltando ao nosso limite de
:
Assim
. Como a função exponencial
é contínua, ao exponenciar obtemos o limite da sequência original:
Para conferir numericamente,
. Observação prática para prova: muitas vezes já é suficiente saber e usar o resultado padrão
aqui com
.
Passo 6
Comentário final e dica de prova:
- Em provas, ao ver
memorize que tende a . Se tiver dúvida, repita o truque do logaritmo e do limite . - Lembre-se de checar se os termos são positivos (para poder aplicar
); se não forem inicialmente, verifique que a partir de certo eles o são — isso basta para a convergência.