Exercício 1.1. Estude a convergência das sequências:
\quad\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n},\quad n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é dada termo a termo por \displaystyle a_n=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}.
  • Para n=1 temos a_1=\left(1-2\right)^1=-1.
  • Para n=2 temos a_2=0.
  • Para n\ge3 o termo 1-\dfrac{2}{n} é positivo, logo a_n>0 para n\ge3.
    O que se pede: determinar se \left(1-\dfrac{2}{n}\right)^{n} converge quando n\to\infty e, se convergir, achar o limite.

Passo 2

Estratégia (não resolvo ainda, só explico a ideia que é útil na prova).
Quando aparecerem sequências do tipo \big(1+\text{algo pequeno}\big)^{\text{grande}} é muito comum tomar o logaritmo natural para simplificar o expoente e transformar potência em produto. Depois de achar o limite do logaritmo, volta-se exponenciando (pois a função exponencial é contínua). Um detalhe técnico: como \ln só está definido para argumentos positivos, observa-se que os termos da sequência são positivos a partir de n=3; isso basta, porque a convergência de uma sequência depende apenas do comportamento para n grande (os primeiros termos não importam). Portanto podemos estudar a sequência a partir de n\ge3 e aplicar o logaritmo.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural ao termo geral (para n\ge3):
\ln a_n = \ln\!\left( \left(1-\frac{2}{n}\right)^{n} \right) = n \ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right).
Queremos calcular
\lim_{n\to\infty} n \ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right).
Uma maneira simples é usar a substituição y_n = -\dfrac{2}{n}. Note que y_n\to0 quando n\to\infty e
n \ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right) = \frac{\ln(1+y_n)}{y_n}\cdot(-2).
Logo é suficiente encontrar \displaystyle\lim_{y\to0}\frac{\ln(1+y)}{y}.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{y\to0}\frac{\ln(1+y)}{y}.
Esse é um limite clássico; pode-se usar o Teorema de l’Hôpital (ou a interpretação como derivada de \ln(1+y) em y=0). Aplicando l’Hôpital:
\lim_{y\to0}\frac{\ln(1+y)}{y}=\lim_{y\to0}\frac{\frac{d}{dy}\ln(1+y)}{\frac{d}{dy}y}=\lim_{y\to0}\frac{1}{1+y}=1.
Portanto \displaystyle\lim_{y\to0}\frac{\ln(1+y)}{y}=1.

Passo 5

Voltando ao nosso limite de \ln a_n:
\lim_{n\to\infty} n \ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+y_n)}{y_n}\cdot(-2) = 1\cdot(-2) = -2.
Assim \ln a_n \to -2. Como a função exponencial \exp é contínua, ao exponenciar obtemos o limite da sequência original:
\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{2}{n}\right)^{n} = e^{-2}.
Para conferir numericamente, e^{-2}\approx 0,1353. Observação prática para prova: muitas vezes já é suficiente saber e usar o resultado padrão
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x},
aqui com x=-2.

Passo 6

Comentário final e dica de prova:
  • Em provas, ao ver \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n memorize que tende a e^{x}. Se tiver dúvida, repita o truque do logaritmo e do limite \dfrac{\ln(1+y)}{y}\to1.
  • Lembre-se de checar se os termos são positivos (para poder aplicar \ln); se não forem inicialmente, verifique que a partir de certo n eles o são — isso basta para a convergência.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}=e^{-2}

Exercícios relacionados