Exercício 1.1. Estude a convergência das sequências:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para estudar a convergência quando
. Ou seja: determinar se
converge (tem limite finito), diverge para
, diverge para
ou não tem limite.
Informações úteis que já temos do enunciado:
-
é a base do logaritmo natural, com . -
é o índice que tende para infinito (presumimos ). - A expressão contém uma exponencial no numerador e um polinômio (
) no denominador.
Passo 2
Primeiro simplificar para deixar claro o que estudar:
Como
é constante positiva, é suficiente estudar o comportamento de
Se
então
; se
tivesse limite finito (ou zero) o mesmo ocorreria multiplicando por
.
Passo 3
Método 1 — razão entre termos consecutivos (argumento tipo “crescimento geométrico”):
Calculemos a razão
Calculemos a razão
Agora o limite quando
dessa razão:
Como
, a razão tende para um número maior que
. Isso significa que existe
tal que para todo
temos
para algum
com
. Assim, por indução,
Como
quando
, segue que
. Portanto
. Em palavras: a sequência cresce geometricamente a partir de algum ponto, logo diverge para
.
Passo 4
Método 2 — usando logaritmo (intuição de ordens de grandeza):
Calculemos o logaritmo natural dos termos (isso transforma produtos/razões em somas/subtrações; é útil porque é crescente):
Calculemos o logaritmo natural dos termos (isso transforma produtos/razões em somas/subtrações; é útil porque
Note que
cresce muito mais lentamente que
: de fato
. Assim
e como
temos
. Logo
, o que implica
. Esse método dá a mesma conclusão de forma direta: o termo linear
(vindo da exponencial) domina o termo
(vindo do denominador polinomial).
Passo 5
Interpretação final e intuição: a exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial
. Por isso
cresce sem limite quando
, e multiplicar por
não muda isso. Então a sequência diverge para
.
Resposta
A sequência diverge para
.