Exercício 1.1. Estude a convergência das sequências:
\frac{e^{n+4}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n=\frac{e^{n+4}}{n^{2}}
e pede para estudar a convergência quando n\to\infty. Ou seja: determinar se a_n converge (tem limite finito), diverge para +\infty, diverge para -\infty ou não tem limite.
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • e é a base do logaritmo natural, com e>0.
  • n é o índice que tende para infinito (presumimos n\in\mathbb{N}).
  • A expressão contém uma exponencial no numerador e um polinômio ( n^2) no denominador.

Passo 2

Primeiro simplificar para deixar claro o que estudar:
a_n = \frac{e^{n+4}}{n^{2}} = e^{4}\cdot\frac{e^{n}}{n^{2}}.
Como e^{4} é constante positiva, é suficiente estudar o comportamento de
b_n=\frac{e^{n}}{n^{2}}.
Se b_n\to+\infty então a_n=e^{4}b_n\to+\infty; se b_n tivesse limite finito (ou zero) o mesmo ocorreria multiplicando por e^4.

Passo 3

Método 1 — razão entre termos consecutivos (argumento tipo “crescimento geométrico”):
Calculemos a razão
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{e^{n+1}}{(n+1)^2}}{\dfrac{e^{n}}{n^2}} = e\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Agora o limite quando n\to\infty dessa razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = e\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} = e\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\tfrac{1}{n})^{2}} = e\cdot 1 = e.
Como e>1, a razão tende para um número maior que 1. Isso significa que existe N tal que para todo n\ge N temos
\frac{b_{n+1}}{b_n} \ge c
para algum c com 1<c<e. Assim, por indução,
b_{N+k} \ge c^{k} b_N\qquad\text{para todo }k\ge0.
Como c^{k}\to\infty quando k\to\infty, segue que b_{n}\to+\infty. Portanto a_n=e^{4}b_n\to+\infty. Em palavras: a sequência cresce geometricamente a partir de algum ponto, logo diverge para +\infty.

Passo 4

Método 2 — usando logaritmo (intuição de ordens de grandeza):
Calculemos o logaritmo natural dos termos (isso transforma produtos/razões em somas/subtrações; é útil porque \ln é crescente):
\ln a_n = \ln\!\left(\frac{e^{n+4}}{n^{2}}\right) = \ln(e^{n+4}) - \ln(n^{2}) = (n+4) - 2\ln n.
Note que \ln n cresce muito mais lentamente que n: de fato \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0. Assim
\ln a_n = n\left(1 - 2\frac{\ln n}{n}\right) + 4,
e como \frac{\ln n}{n}\to0 temos \ln a_n\sim n\to+\infty. Logo \ln a_n\to+\infty, o que implica a_n\to+\infty. Esse método dá a mesma conclusão de forma direta: o termo linear n (vindo da exponencial) domina o termo 2\ln n (vindo do denominador polinomial).

Passo 5

Interpretação final e intuição: a exponencial \,e^{n}\, cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial n^{k}. Por isso \dfrac{e^{n}}{n^{2}} cresce sem limite quando n\to\infty, e multiplicar por e^{4} não muda isso. Então a sequência diverge para +\infty.

Resposta

A sequência diverge para +\infty.

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