Vou usar a fatoração de Doolittle (método padrão com eliminacão de Gauss), em que escrevemos
A=L\,U,
onde L é triangular inferior com \emph{uns} na diagonal e U é triangular superior. Motivação rápida e fórmula dos multiplicadores: ao eliminar abaixo do pivô a_{kk} na etapa k usa-se o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}},
onde a_{ik}^{(k)} é o elemento atual na linha i, coluna k antes da eliminação nessa etapa; esse m_{ik} vira o elemento l_{ik} em L. A eliminação atualiza linhas por
Depois que obtivermos L e U resolvemos A x=b em duas fases: primeiro L y=b (substituição para frente) e depois U x=y (substituição para trás). Vou aplicar passo a passo, mostrando os multiplicadores.
Passo 3
Eliminação na primeira coluna (usar a_{11}=1 como pivô).
Calcular os multiplicadores para zerar abaixo de a_{11}: