Exercício 2.7. Dê a Fatoração L U de cada matriz e resolva o sistema:
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3} & =-1 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3} & =2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-4 x_{3} & =7 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter a fatoração \,LU da matriz dos coeficientes e (2) resolver o sistema linear
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3} & =-1,\\[4pt] 3 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3} & =2,\\[4pt] 4 x_{1}+3 x_{2}-4 x_{3} & =7. \end{aligned}
As informações que temos (peguei diretamente do enunciado) são os coeficientes, que formam a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & -2\\[4pt] 4 & 3 & -4 \end{pmatrix},
e o vetor de termos independentes
b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]7\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vou usar a fatoração de Doolittle (método padrão com eliminacão de Gauss), em que escrevemos
A=L\,U,
onde L é triangular inferior com \emph{uns} na diagonal e U é triangular superior. Motivação rápida e fórmula dos multiplicadores: ao eliminar abaixo do pivô a_{kk} na etapa k usa-se o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}},
onde a_{ik}^{(k)} é o elemento atual na linha i, coluna k antes da eliminação nessa etapa; esse m_{ik} vira o elemento l_{ik} em L. A eliminação atualiza linhas por
\text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ik}\,\text{linha}_k.
Depois que obtivermos L e U resolvemos A x=b em duas fases: primeiro L y=b (substituição para frente) e depois U x=y (substituição para trás). Vou aplicar passo a passo, mostrando os multiplicadores.

Passo 3

Eliminação na primeira coluna (usar a_{11}=1 como pivô).
Calcular os multiplicadores para zerar abaixo de a_{11}:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{3}{1}=3,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{4}{1}=4.
Usar esses multiplicadores para atualizar as linhas:
Linha 2 nova:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - m_{21}\,\text{linha}_1
\begin{pmatrix}3 & 2 & -2\end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1 & -5\end{pmatrix}.
Linha 3 nova:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{31}\,\text{linha}_1
\begin{pmatrix}4 & 3 & -4\end{pmatrix} - 4\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1 & -8\end{pmatrix}.
Após esta etapa a matriz transformada tem a forma (os zeros abaixo do primeiro pivô já aparecem):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -5\\[4pt] 0 & -1 & -8 \end{pmatrix}.
Os multipliers m_{21}=3 e m_{31}=4 serão os elementos l_{21} e l_{31} de L.]

Passo 4

Eliminação na segunda coluna (usar agora a_{22}^{(2)}=-1 como pivô).
Calcular o multiplicador para zerar abaixo de a_{22}^{(2)}:
m_{32}=\frac{a_{32}^{(2)}}{a_{22}^{(2)}}=\frac{-1}{-1}=1.
Atualizar a linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{32}\,\text{linha}_2
\begin{pmatrix}0 & -1 & -8\end{pmatrix} - 1\begin{pmatrix}0 & -1 & -5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 & -3\end{pmatrix}.
Agora já temos a forma triangular superior U. O terceiro pivô é a_{33}^{(3)}=-3. O multiplicador m_{32}=1 será l_{32} em L.

Passo 5

Escrever as matrizes L e U finais (forma Doolittle: uns na diagonal de L e os multiplicadores abaixo):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] m_{21} & 1 & 0\\[4pt] m_{31} & m_{32} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (multiplicação) — só para conferir:
L\,U= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & -2\\[4pt] 4 & 3 & -4 \end{pmatrix}=A,
logo a fatoração está correta.]

Passo 6

Resolver L y=b por substituição para frente. Escrevendo as equações de L y=b:
\begin{aligned} 1\cdot y_{1} & = -1,\\[4pt] 3\cdot y_{1} + 1\cdot y_{2} & = 2,\\[4pt] 4\cdot y_{1} + 1\cdot y_{2} + 1\cdot y_{3} & = 7. \end{aligned}
Resolver passo a passo:
Primeiro,
y_{1}=-1.
Segundo,
y_{2}=2-3y_{1}=2-3(-1)=2+3=5.
Terceiro,
y_{3}=7-4y_{1}-1y_{2}=7-4(-1)-5=7+4-5=6.
Portanto
y=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver U x=y por substituição para trás. As equações de U x=y são
\begin{aligned} 1\cdot x_{1} + 1\cdot x_{2} + 1\cdot x_{3} & = y_{1}=-1,\\[4pt] -1\cdot x_{2} -5\cdot x_{3} & = y_{2}=5,\\[4pt] -3\cdot x_{3} & = y_{3}=6. \end{aligned}
Resolver de baixo para cima:
Da última equação,
-3 x_{3}=6\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{6}{-3}=-2.
Da segunda equação,
- x_{2} -5 x_{3}=5\quad\Rightarrow\quad -x_{2}-5(-2)=5\quad\Rightarrow\quad -x_{2}+10=5,
-x_{2}=-5\quad\Rightarrow\quad x_{2}=5.
Da primeira equação,
x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1\quad\Rightarrow\quad x_{1}+5+(-2)=-1,
x_{1}+3=-1\quad\Rightarrow\quad x_{1}=-4.
Portanto a solução é
x=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]5\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Resposta

x_{1}=-4
x_{2}=5
x_{3}=-2

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