Exercício 2.5. Resolver o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{aligned} 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3} & =1 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & =2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3} & =3 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} que satisfazem o sistema
\begin{aligned} 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3} &= 1,\\\ x_{1}+x_{2}+2x_{3} &= 2,\\\\ 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3} &= 3. \end{aligned}
Informações dadas:
  • Três equações lineares em três incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}.
  • O objetivo é achar os valores numéricos de \,x_{1},x_{2},x_{3} que tornam todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo.

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
  • Vou usar eliminação por operações elementares (eliminacão de Gauss), que é um procedimento bem direto para sistemas 3\times3: transforma o sistema em uma forma triangular, resolve a última equação (uma incógnita), e volta substituindo (retro-substituição).
  • Operações elementares permitidas (não mudam a solução): trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Definição prática: escrever o sistema na forma de “matriz aumentada” ajuda a organizar as contas; cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o termo independente.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada do sistema para organizar:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 4 & 3 & 2 & 3 \end{array}\right].
Essa matriz corresponde às equações na ordem dada. A ideia é usar operações nas linhas para obter uma forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal).]

Passo 4

Evitar frações iniciais: trocar a linha 1 com a linha 2 (para ter pivô 1 no topo). Após R_{1}\leftrightarrow R_{2} obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 4 & 3 & 2 & 3 \end{array}\right].
Aqui R_{i} denota a i-ésima linha. Agora uso R_{1} para zerar as entradas da coluna 1 em R_{2} e R_{3}.]

Passo 5

Eliminar x_{1} nas linhas 2 e 3:
  • Fazer R_{2} \leftarrow R_{2} - 3R_{1}: R_{2}:\; (3-3\cdot1,\;2-3\cdot1,\;4-3\cdot2,\;1-3\cdot2) = (0,\,-1,\,-2,\,-5).
  • Fazer R_{3} \leftarrow R_{3} - 4R_{1}: R_{3}:\; (4-4\cdot1,\;3-4\cdot1,\;2-4\cdot2,\;3-4\cdot2) = (0,\,-1,\,-6,\,-5).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -5\\[4pt] 0 & -1 & -6 & -5 \end{array}\right].]

Passo 6

Usar a segunda linha como pivô para zerar a entrada abaixo dela (coluna 2, linha 3). Fazer R_{3} \leftarrow R_{3} - R_{2}:
R_{3}:\; (0-0,\;-1-(-1),\;-6-(-2),\;-5-(-5)) = (0,\,0,\,-4,\,0).
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -4 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretar a matriz triangular como equações e resolver por retro-substituição.
A terceira linha corresponde a -4x_{3}=0. Portanto
-4x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=0.
Explique: isolar a incógnita deixando-a sozinha divide ambos os lados pelo coeficiente.

Passo 8

Substituir x_{3}=0 na segunda equação (linha 2), que é -1\cdot x_{2} -2\cdot x_{3} = -5:
- x_{2} -2\cdot 0 = -5 \quad\Rightarrow\quad -x_{2} = -5 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=5.
Explique: simplifica porque x_{3} já foi encontrado.

Passo 9

Substituir x_{2}=5 e x_{3}=0 na primeira equação (linha 1), que é x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2:
x_{1}+5+2\cdot 0 = 2 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2-5 = -3.
Assim obtém-se x_{1}=-3.

Passo 10

Checagem rápida (substituir a solução nas equações originais para verificar):
  • Primeira equação: 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3(-3)+2(5)+4(0)=-9+10+0=1 confere.
  • Segunda equação: x_{1}+x_{2}+2x_{3}= -3+5+0=2 confere.
  • Terceira equação: 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=4(-3)+3(5)+2(0)=-12+15+0=3 confere.
    Tudo bate, solução verificada.

Resposta

\;x_{1}=-3
\;x_{2}=5
\;x_{3}=0

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