Exercício 6. A função
é tabelada para
com
. Encontre o erro máximo para uma interpolação linear.
Passo 1
O enunciado dá:
- A função é
. - O intervalo é
. - Os nós da tabela estão espaçados com passo
.
O que o problema pede:
- Encontrar o erro máximo (um limite superior para o erro absoluto) ao aproximar
por interpolação linear entre os nós com espaçamento em todo o intervalo .
Passo 2
Vamos entender a fórmula do erro na interpolação linear e de onde ela vem (aula rápida e prática).
Seja
duas vezes continuamente diferenciável. Seja
o polinômio interpolador linear de
nos nós
e
. Para qualquer
vale a fórmula do resto (forma de Lagrange para interpolação):
para algum
entre
e
.
O que isso quer dizer (de modo intuitivo):
- A diferença entre a função e a reta que interpola nos extremos é proporcional à segunda derivada (curvatura) em algum ponto
do intervalo e ao produto . - Quanto maior a curvatura
, maior o erro; quanto menor o comprimento do intervalo , menor o erro (aparece como ao final).
Agora vamos achar o máximo, em módulo, do fator geométrico
quando
varia em
. Completando o quadrado:
Essa expressão atinge seu valor mínimo (ou seja, o mais negativo) em
(o ponto médio), onde vale
. Assim o maior valor absoluto desse produto, no intervalo, é
.
Substituindo esse máximo absoluto na fórmula do erro, obtemos um limite uniforme no intervalo
:
Para obter um erro máximo em todo
tomamos o máximo da segunda derivada em todo o intervalo:
Passo 3
Aplicando ao caso
:
- A segunda derivada é
. - No intervalo
essa função é crescente, então
Logo o erro máximo (limite superior) sobre
satisfaz
Substituindo
(lembre que
):
Agora o valor numérico aproximado (usar
):
Passo 4
Interpretação final e dica para prova:
- A forma geral usada foi a fórmula do resto da interpolação de Lagrange para grau
. Memorize a expressão
pois é muito útil para estimar erros de interpolação linear.
- Em provas, quando pedem “erro máximo” em um intervalo, use o máximo da segunda derivada nesse intervalo e o fato de que o produto
atinge no ponto médio.