Exercício 6. A função y=e^{x} é tabelada para x \in[0,1] com h=0,01. Encontre o erro máximo para uma interpolação linear.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função é y=e^{x}.
  • O intervalo é [0,1].
  • Os nós da tabela estão espaçados com passo h=0,01.
O que o problema pede:
  • Encontrar o erro máximo (um limite superior para o erro absoluto) ao aproximar e^{x} por interpolação linear entre os nós com espaçamento h=0,01 em todo o intervalo [0,1].

Passo 2

Vamos entender a fórmula do erro na interpolação linear e de onde ela vem (aula rápida e prática).
Seja f duas vezes continuamente diferenciável. Seja p o polinômio interpolador linear de f nos nós x_i e x_{i+1}=x_i+h. Para qualquer x\in[x_i,x_{i+1}] vale a fórmula do resto (forma de Lagrange para interpolação):
f(x)-p(x)=\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-x_i)(x-x_{i+1}),
para algum \xi entre x_i e x_{i+1}.
O que isso quer dizer (de modo intuitivo):
  • A diferença entre a função e a reta que interpola nos extremos é proporcional à segunda derivada (curvatura) em algum ponto \xi do intervalo e ao produto (x-x_i)(x-x_{i+1}).
  • Quanto maior a curvatura f'', maior o erro; quanto menor o comprimento do intervalo h, menor o erro (aparece como h^2 ao final).
Agora vamos achar o máximo, em módulo, do fator geométrico (x-x_i)(x-x_{i+1}) quando x varia em [x_i,x_{i+1}]. Completando o quadrado:
(x-x_i)(x-x_{i+1})=(x-(x_i+\tfrac{h}{2}))^2-\frac{h^2}{4}.
Essa expressão atinge seu valor mínimo (ou seja, o mais negativo) em x=x_i+\tfrac{h}{2} (o ponto médio), onde vale -\dfrac{h^2}{4}. Assim o maior valor absoluto desse produto, no intervalo, é \dfrac{h^2}{4}.
Substituindo esse máximo absoluto na fórmula do erro, obtemos um limite uniforme no intervalo [x_i,x_{i+1}]:
|f(x)-p(x)|\le \frac{1}{2}\max_{\xi\in[x_i,x_{i+1}]}|f''(\xi)|\cdot\frac{h^2}{4}=\frac{h^2}{8}\max_{\xi\in[x_i,x_{i+1}]}|f''(\xi)|.
Para obter um erro máximo em todo [0,1] tomamos o máximo da segunda derivada em todo o intervalo:
\max_{x\in[0,1]}|f(x)-p(x)| \le \frac{h^2}{8}\max_{x\in[0,1]}|f''(x)|.

Passo 3

Aplicando ao caso f(x)=e^{x}:
  • A segunda derivada é f''(x)=e^{x}.
  • No intervalo [0,1] essa função é crescente, então
\max_{x\in[0,1]} f''(x)=f''(1)=e.
Logo o erro máximo (limite superior) sobre [0,1] satisfaz
E_{\max}\le \frac{h^2}{8}\,e.
Substituindo h=0,01 (lembre que (0,01)^2=0,0001):
E_{\max}\le \frac{e}{8}\,(0,01)^2=\frac{e}{8}\cdot 0,0001=\frac{e}{80000}.
Agora o valor numérico aproximado (usar e\approx 2,7182818):
E_{\max}\le \frac{e}{80000}\approx 0,0000339785.

Passo 4

Interpretação final e dica para prova:
  • A forma geral usada foi a fórmula do resto da interpolação de Lagrange para grau 1. Memorize a expressão
f(x)-p(x)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_i)(x-x_{i+1}),
pois é muito útil para estimar erros de interpolação linear.
  • Em provas, quando pedem “erro máximo” em um intervalo, use o máximo da segunda derivada nesse intervalo e o fato de que o produto |(x-x_i)(x-x_{i+1})| atinge \dfrac{h^2}{4} no ponto médio.

Resposta

\displaystyle E_{\max}\le \frac{e}{8}\,h^{2}=\frac{e}{80000}\approx 0,0000339785

Exercícios relacionados