Resolva os itens a seguir:
Encontre a matriz jacobiana associada à função F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
F(x)=\left(\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}-b_{1} \\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+a_{23} x_{3}-b_{2} \\\ a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+a_{33} x_{3}-b_{3} \end{array}\right),
onde x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
F(x)=\begin{pmatrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}-b_{1}\\[4pt] a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}-b_{2}\\[4pt] a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}-b_{3} \end{pmatrix},
onde x=(x_{1},x_{2},x_{3}). As entradas a_{ij} e b_{i} são constantes fornecidas. O que o problema pede é: encontrar a matriz jacobiana associada a F.]

Passo 2

Vou lembrar o que é a matriz jacobiana de uma função vetorial. Se F=(F_{1},F_{2},F_{3}), a jacobiana J_{F}(x) é a matriz 3\times3 cujas entradas são as derivadas parciais
\big(J_{F}(x)\big)_{ij}=\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}.
Em palavras: a linha i contém as derivadas parciais da componente F_{i} em relação a x_{1},x_{2},x_{3}. Esta é a definição que vamos aplicar componente a componente.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de cada componente. Observação útil (regra básica): se c é constante então \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}(c\,x_{k})=c se j=k e 0 se j\neq k; e \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}(\text{constante})=0.
Para a primeira componente F_{1}(x)=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}-b_{1} temos
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}=a_{11},\qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}=a_{12},\qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{3}}=a_{13},
pois cada termo a_{1j}x_{j} a_{1j} quando derivado em relação a x_{j}, e -b_{1} some porque é constante.
Para a segunda componente F_{2}(x)=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}-b_{2} temos
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}}=a_{21},\qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}=a_{22},\qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{3}}=a_{23}.
Para a terceira componente F_{3}(x)=a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}-b_{3} temos
\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{1}}=a_{31},\qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial x_{2}}=a_{32},\qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial x_{3}}=a_{33}.

Passo 4

Agora montamos a matriz cujas entradas são essas derivadas parciais, seguindo a ordem \dfrac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}. A jacobiana é
J_{F}(x)= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
Note que não aparece nenhum x nem os termos b_{i}: a função é afim linear ( F(x)=A x - b) e a derivada é simplesmente a matriz A.]

Passo 5

Pequena interpretação final (útil para prova): a matriz jacobiana de uma transformação afim x\mapsto A x + c é a própria matriz A. Então, se vir algo parecido na prova, basta pegar os coeficientes das combinações lineares das componentes.

Resposta

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}]

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