Exercício 3. Determina-se empiricamente o alongamento
de uma mola (em milimetros) em função da carga
(em kgf) que atua sobre ela, obtendo-se
5
10
15
20
25
30
35
40
49
105
172
253
352
473
619
. Interpolando por médio de polinômios de terceiro grau, encontre as cargas que produzem os seguintes alongamentos na mola:
22 mm.
|
|
5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
| 49 | 105 | 172 | 253 | 352 | 473 | 619 |
Passo 1
O enunciado pede: “interpolando por médio de polinômios de terceiro grau, encontre as cargas que produzem o alongamento
.”
Peguei os dados da tabela fornecida. Os pontos (alongamento em mm, carga
em kgf) disponíveis são, conforme a tabela:
Peguei os dados da tabela fornecida. Os pontos (alongamento
Observação: na tabela original parecia haver uma célula vazia para
, portanto ignorei esse ponto ausente. O objetivo é achar
tal que
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa: o enunciado pede interpolação por polinômios de grau 3 (cúbicos). Para estimar
em
é razoável construir um polinômio cúbico que aproxime a função
usando quatro pontos próximos a
. Vou usar os quatro pontos centrados em torno de
:
onde escrevo
.
Método escolhido: forma de Newton com diferenças divididas. Vantagem: construção incremental do polinômio e avaliação direta em .
Método escolhido: forma de Newton com diferenças divididas. Vantagem: construção incremental do polinômio e avaliação direta em
Breve aula sobre diferenças divididas e polinômio de Newton:
- O polinômio de Newton de grau 3 com pontos
tem a forma
onde
,
,
são as diferenças divididas.
- Diferença dividida de ordem 1:
- Diferença dividida de ordem 2:
- E assim por diante. Essas fórmulas são fáceis de calcular com os
igualmente espaçados (aqui o espaçamento é ).
Passo 3
Calcular as diferenças divididas passo a passo (peguei os
da tabela como escrito no Passo 1).
Ordem 0 (valores):
Ordem 1:
Ordem 2:
Ordem 3:
(ou
).
Assim, os coeficientes
são:
Passo 4
Escrever o polinômio de Newton (não é preciso expandir totalmente; usaremos na forma fatorada para avaliar em
):
Explico cada termo:
-
é o valor em . -
ajusta a inclinação inicial. - Os termos de ordens superiores corrigem a curvatura para encaixar os pontos subsequentes.
Passo 5
Avaliar
passo a passo (a ideia é fazer contas que dêem para fazer à mão na prova; vou mostrar cada multiplicação):
Calcule as diferenças de abscissa:
Calcule as diferenças de abscissa:
Agora cada termo:
Somando:
Arredondando de forma prática (duas casas decimais é suficiente para carga em kgf):
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: uma interpolação linear simples entre
e
daria
ou seja, o valor cúbico
está próximo do linear
, o que dá confiança razoável no resultado. O polinômio cúbico usa informação de curvatura e costuma ser mais preciso para dados não exatamente lineares.