Exercício 3. Determina-se empiricamente o alongamento x de uma mola (em milimetros) em função da carga P (em kgf) que atua sobre ela, obtendo-se
x 5 10 15 20 25 30 35 40
49 105 172 253 352 473 619
. Interpolando por médio de polinômios de terceiro grau, encontre as cargas que produzem os seguintes alongamentos na mola:
22 mm.

Passo 1

O enunciado pede: “interpolando por médio de polinômios de terceiro grau, encontre as cargas que produzem o alongamento \,22\\ \text{mm}\,.”
Peguei os dados da tabela fornecida. Os pontos (alongamento x em mm, carga P em kgf) disponíveis são, conforme a tabela:
(10,49),\\ (15,105),\\ (20,172),\\ (25,253),\\ (30,352),\\ (35,473),\\ (40,619).
Observação: na tabela original parecia haver uma célula vazia para x=5, portanto ignorei esse ponto ausente. O objetivo é achar P tal que x=22\\ \text{mm}.

Passo 2

Escolha do método e justificativa: o enunciado pede interpolação por polinômios de grau 3 (cúbicos). Para estimar P em x=22 é razoável construir um polinômio cúbico que aproxime a função P(x) usando quatro pontos próximos a x=22. Vou usar os quatro pontos centrados em torno de 22:
(x_0,y_0)=(15,105),\quad (x_1,y_1)=(20,172),\quad (x_2,y_2)=(25,253),\quad (x_3,y_3)=(30,352),
onde escrevo y=P(x).
Método escolhido: forma de Newton com diferenças divididas. Vantagem: construção incremental do polinômio e avaliação direta em x=22.
Breve aula sobre diferenças divididas e polinômio de Newton:
  • O polinômio de Newton de grau 3 com pontos (x_0,y_0),\dots,(x_3,y_3) tem a forma
p(x)=y_0 + b_1(x-x_0) + b_2(x-x_0)(x-x_1) + b_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2),
onde b_1=f[x_0,x_1], b_2=f[x_0,x_1,x_2], b_3=f[x_0,x_1,x_2,x_3] são as diferenças divididas.
  • Diferença dividida de ordem 1:
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}.
  • Diferença dividida de ordem 2:
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}.
  • E assim por diante. Essas fórmulas são fáceis de calcular com os x_i igualmente espaçados (aqui o espaçamento é 5).

Passo 3

Calcular as diferenças divididas passo a passo (peguei os x_i,y_i da tabela como escrito no Passo 1).
Ordem 0 (valores):
f[x_0]=y_0=105,\quad f[x_1]=y_1=172,\quad f[x_2]=y_2=253,\quad f[x_3]=y_3=352.
Ordem 1:
f[x_0,x_1]=\frac{172-105}{20-15}=\frac{67}{5}=13{,}4.
f[x_1,x_2]=\frac{253-172}{25-20}=\frac{81}{5}=16{,}2.
f[x_2,x_3]=\frac{352-253}{30-25}=\frac{99}{5}=19{,}8.
Ordem 2:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{16{,}2-13{,}4}{25-15}=\frac{2{,}8}{10}=0{,}28.
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{19{,}8-16{,}2}{30-20}=\frac{3{,}6}{10}=0{,}36.
Ordem 3:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{0{,}36-0{,}28}{30-15}=\frac{0{,}08}{15}=0{,}005333\ldots
(ou 0{,}005\overline{3}).
Assim, os coeficientes b_i são:
b_1=13{,}4,\quad b_2=0{,}28,\quad b_3=0{,}005333\ldots

Passo 4

Escrever o polinômio de Newton (não é preciso expandir totalmente; usaremos na forma fatorada para avaliar em x=22):
p(x)=105 + 13{,}4(x-15) + 0{,}28(x-15)(x-20) + 0{,}005333\ldots\,(x-15)(x-20)(x-25).
Explico cada termo:
  • 105 é o valor em x_0=15.
  • 13{,}4(x-15) ajusta a inclinação inicial.
  • Os termos de ordens superiores corrigem a curvatura para encaixar os pontos subsequentes.

Passo 5

Avaliar p(22) passo a passo (a ideia é fazer contas que dêem para fazer à mão na prova; vou mostrar cada multiplicação):
Calcule as diferenças de abscissa:
22-15=7,\quad 22-20=2,\quad 22-25=-3.
Agora cada termo:
\text{Termo}_0 = 105.
\text{Termo}_1 = 13{,}4\cdot 7 = 93{,}8.
\text{Termo}_2 = 0{,}28\cdot 7\cdot 2 = 0{,}28\cdot 14 = 3{,}92.
\text{Termo}_3 = 0{,}005333\ldots\cdot 7\cdot 2\cdot(-3)=0{,}005333\ldots\cdot(-42)=-0{,}224.
Somando:
p(22)=105 + 93{,}8 + 3{,}92 - 0{,}224 = 202{,}496.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais é suficiente para carga em kgf):
p(22)\approx 202{,}50\\ \text{kgf}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: uma interpolação linear simples entre x=20 e x=25 daria
P_{\text{linear}}=172 + \frac{22-20}{25-20}(253-172)=172 + \frac{2}{5}\cdot 81 = 204{,}4,
ou seja, o valor cúbico 202{,}50 está próximo do linear 204{,}4, o que dá confiança razoável no resultado. O polinômio cúbico usa informação de curvatura e costuma ser mais preciso para dados não exatamente lineares.

Resposta

P\approx 202{,}50\\ \text{kgf}

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