Exercício de Matemática Financeira

Uma pessoa realizou um financiamento no valor de \mathrm{R} \ 76.375,00 , a ser pago em 60 parcelas mensais iguais de\mathrm{R} $2.007,15 . Sabendo que o financiamento segue o sistema de parcelas fixas (Tabela Price), determine a taxa de juros mensal (i). Utilize a fórmula abaixo: \(C=P *\left[\left((1+i)^{\wedge} n-1\right)\right. /\left((1+\mathrm{i})^{\wedge} \mathrm{n}\right. * i)) ] Onde:\mathrm{P}= valor da parcela\mathrm{C}= valor presente (capital inicial)\mathrm{i}= taxa de juros\mathrm{n}=$ número de parcelas

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
  • Valor presente (capital inicial): C = \mathrm{R}\$\,76.375,00.
  • Parcela mensal (valor da prestação): P = \mathrm{R}\$\,2.007,15.
  • Número de parcelas: n = 60.
  • O enunciado pede a taxa de juros mensal i do financiamento no sistema de parcelas fixas (Tabela Price), usando a fórmula fornecida.
Informação extra que vou usar (retomando a notação do enunciado):
  • A fórmula dada relaciona C, P, i e n:
C = P \cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{(1+i)^{n}\,i}.
A partir disso vamos encontrar i.

Passo 2

Entendendo a fórmula (aula rapidinha e prática):
  • A fórmula do sistema Price vem da soma das parcelas descontadas ao valor presente:
C = P\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}.
  • Essa soma é uma série geométrica cujo resultado conhecido é
\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Substituindo na soma obtemos a forma mais usual:
C = P\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • A forma dada no enunciado é algebraicamente equivalente, pois
\frac{(1+i)^{n}-1}{(1+i)^{n}i} = \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Objetivo: resolver essa equação para i. Não existe fórmula fechada elementar para isolar i aqui — é preciso método numérico (tentativa/erro, bisseção, Newton, secante etc.). Vou usar tentativa/erro guiada (interpolação) com explicações para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Reescrever a equação em forma conveniente e calcular o número alvo:
  • Divido os dois lados por P para obter a função em i:
\frac{C}{P}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Calculando o lado esquerdo com os dados:
\frac{C}{P}=\frac{76.375,00}{2.007,15}\approx 38,051467.
(Esse número é a constante que a expressão à direita deve igualar.)
Chamo
A(i)=\frac{1-(1+i)^{-60}}{i},
e preciso achar i>0 tal que A(i)=38,051467.

Passo 4

Estratégia numérica e primeiros testes (explicando como avaliar A(i)):
  • Para calcular A(i) usamos (1+i)^{-60}=1/(1+i)^{60}. Para estimar (1+i)^{60} usei a aproximação via logaritmo natural quando necessário: \ln(1+i)\approx i - i^{2}/2 + \dots ou simplesmente cálculos diretos para valores testados.
  • Testes iniciais para localizarmos a taxa:
  1. Teste em i=0{,}01 (ou seja 1\% ao mês):
(1+i)^{60}\approx 1{,}01^{60}\approx 1{,}817\quad\Rightarrow\quad(1+i)^{-60}\approx 0{,}5503.
A(0{,}01)=\frac{1-0{,}5503}{0{,}01}=44{,}97\quad(\text{maior que }38{,}05).
Logo a taxa verdadeira é maior que 1\% (porque A(i) decresce quando i aumenta).
  1. Teste em i=0{,}015 (ou 1{,}5\% ao mês):
1{,}015^{60}\approx 2{,}443\quad\Rightarrow\quad(1+i)^{-60}\approx 0{,}4093,
A(0{,}015)=\frac{1-0{,}4093}{0{,}015}\approx 39{,}38\quad(\text{ainda maior que }38{,}05).
Portanto a taxa está acima de 1{,}5\%.
  1. Teste em i=0{,}016 (ou 1{,}6\% ao mês):
1{,}016^{60}\approx 2{,}592\quad\Rightarrow\quad(1+i)^{-60}\approx 0{,}3856,
A(0{,}016)=\frac{1-0{,}3856}{0{,}016}\approx 38{,}40\quad(\text{ainda ligeiramente maior que }38{,}051467).
Agora estamos perto; taxa real é um pouco maior que 1{,}6\%.
  1. Teste em i=0{,}017 (ou 1{,}7\%):
1{,}017^{60}\approx 2{,}749\quad\Rightarrow\quad(1+i)^{-60}\approx 0{,}3637,
A(0{,}017)=\frac{1-0{,}3637}{0{,}017}\approx 37{,}43\quad(\text{agora menor que }38{,}051467).
Portanto a solução está entre 0{,}016 e 0{,}017.

Passo 5

Refinamento por interpolação linear (método simples, rápido e suficiente para a precisão necessária):
  • Nos pontos:
i_1=0{,}016 \quad\Rightarrow\quad A(i_1)\approx 38{,}40,
i_2=0{,}017 \quad\Rightarrow\quad A(i_2)\approx 37{,}43.
Queremos A=38{,}051467. Usando interpolação linear aproximamos
i \approx i_1 + (i_2-i_1)\cdot\frac{A(i_1)-A_{\text{alvo}}}{A(i_1)-A(i_2)}.
Substituindo:
i \approx 0{,}016 + 0{,}001\cdot\frac{38{,}40-38{,}051467}{38{,}40-37{,}43} =0{,}016 + 0{,}001\cdot\frac{0{,}348533}{0{,}97}\approx 0{,}016+0{,}000359\approx 0{,}016359.
  • Fiz mais um pequeno ajuste testando i\approx 0{,}016351 e calculei A(i) com maior cuidado (usando a aproximação log-exp), obtendo um valor de A muito próximo de 38{,}051467.

Passo 6

Conclusão numérica e interpretação final:
  • A taxa mensal encontrada é aproximadamente
i \approx 0{,}01635 \quad\text{(em forma decimal)},
ou seja
i \approx 1,635\%\\ \text{ao mês}.ê
Força aí — essa é a taxa mensal do financiamento que faz com que o valor presente de 60 parcelas de \mathrm{R}\$\,2.007,15 seja \mathrm{R}\$\,76.375,00. Se quiser, na prova pode justificar o uso de bisseção/interpolação ou citar que calculadoras financeiras/Excel (função \text{RATE}) dão o mesmo resultado.

Resposta

i \approx 1{,}635\%\\ \text{ao mês}ê

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