Exercício de Matemática Financeira
Uma pessoa realizou um financiamento no valor de
76.375,00
\mathrm{R} $2.007,15
* i))
\mathrm{P}=
\mathrm{C}=
\mathrm{i}=
\mathrm{n}=$ número de parcelas
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
- Valor presente (capital inicial):
. - Parcela mensal (valor da prestação):
. - Número de parcelas:
. - O enunciado pede a taxa de juros mensal
do financiamento no sistema de parcelas fixas (Tabela Price), usando a fórmula fornecida.
Informação extra que vou usar (retomando a notação do enunciado):
- A fórmula dada relaciona
, , e :
A partir disso vamos encontrar
.
Passo 2
Entendendo a fórmula (aula rapidinha e prática):
- A fórmula do sistema Price vem da soma das parcelas descontadas ao valor presente:
- Essa soma é uma série geométrica cujo resultado conhecido é
- Substituindo na soma obtemos a forma mais usual:
- A forma dada no enunciado é algebraicamente equivalente, pois
- Objetivo: resolver essa equação para
. Não existe fórmula fechada elementar para isolar aqui — é preciso método numérico (tentativa/erro, bisseção, Newton, secante etc.). Vou usar tentativa/erro guiada (interpolação) com explicações para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Reescrever a equação em forma conveniente e calcular o número alvo:
- Divido os dois lados por
para obter a função em :
- Calculando o lado esquerdo com os dados:
(Esse número é a constante que a expressão à direita deve igualar.)
Chamo
e preciso achar
tal que
.
Passo 4
Estratégia numérica e primeiros testes (explicando como avaliar
):
- Para calcular
usamos . Para estimar usei a aproximação via logaritmo natural quando necessário: ou simplesmente cálculos diretos para valores testados. - Testes iniciais para localizarmos a taxa:
- Teste em
(ou seja ao mês):
Logo a taxa verdadeira é maior que
(porque
decresce quando
aumenta).
- Teste em
(ou ao mês):
Portanto a taxa está acima de
.
- Teste em
(ou ao mês):
Agora estamos perto; taxa real é um pouco maior que
.
- Teste em
(ou ):
Portanto a solução está entre
e
.
Passo 5
Refinamento por interpolação linear (método simples, rápido e suficiente para a precisão necessária):
- Nos pontos:
Queremos
. Usando interpolação linear aproximamos
Substituindo:
- Fiz mais um pequeno ajuste testando
e calculei com maior cuidado (usando a aproximação log-exp), obtendo um valor de muito próximo de .
Passo 6
Conclusão numérica e interpretação final:
- A taxa mensal encontrada é aproximadamente
ou seja
Força aí — essa é a taxa mensal do financiamento que faz com que o valor presente de 60 parcelas de
seja
. Se quiser, na prova pode justificar o uso de bisseção/interpolação ou citar que calculadoras financeiras/Excel (função
) dão o mesmo resultado.