Se f(t) é uma função contínua para todo t>0, a transformada de Laplace de f é definida por
F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t
cujo domínio é o conjunto de todos os números s para os quais a integral converge. Sabendo disso, escolha apenas uma das alternativas abaixo e resolva:
Mostre que a transformada da função f(t)=\cos t, com s>0, é
Portanto a integral defining F(s) converge absolutamente para todo s>0. Em particular, faz sentido calcular F(s) por meio de limites de integrais definidas.
Passo 3
Escrevendo a integral como limite e escolhendo o método de cálculo.
Vamos calcular a integral definida \displaystyle I(R)=\int_{0}^{R} e^{-st}\cos t\,dt por partes duas vezes. A razão: integração por partes aplicada duas vezes gera um sistema linear entre as integrais contendo \cos t e \sin t, que pode ser resolvido algebricamente — é um método elementar e direto que dá a resposta sem necessidade de números complexos.
Passo 4
Aplicando integração por partes e obtendo um sistema.
Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções diferenciáveis u e v,
Agora tome o limite R\to\infty. Para s>0 tem-se e^{-sR}\to 0 enquanto \cos R e \sin R permanecem limitadas entre -1 e 1. Logo o termo multiplicado por e^{-sR} tende a 0. Assim
F(s)=\lim_{R\to\infty}I_{1}(R)=\frac{s}{s^{2}+1}.
Passo 6
Comentários finais e interpretação (didática rápida).
O passo chave foi aplicar integração por partes duas vezes para criar um pequeno sistema linear entre as integrais com \cos t e \sin t, e então resolver esse sistema. Essa é uma técnica padrão para transformar integrais que se repetem em equações algébricas.
A condição s>0 é usada duas vezes: primeiro para garantir a convergência absoluta via comparação com \int_{0}^{\infty}e^{-st}dt; segundo para assegurar que o termo de fronteira contendo e^{-sR} desaparece ao fazer R\to\infty.
Em prova, bastaria escrever a demonstração seguindo esses passos: (1) mostrar convergência por comparação; (2) calcular integral por partes duas vezes; (3) resolver o sistema e tomar limite.