Se f(t) é uma função contínua para todo t>0, a transformada de Laplace de f é definida por
F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t
cujo domínio é o conjunto de todos os números s para os quais a integral converge. Sabendo disso, escolha apenas uma das alternativas abaixo e resolva:
Mostre que a transformada da função f(t)=\cos t, com s>0, é
F(s)=\frac{s}{s^{2}+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Foi dada a função f(t)=\cos t definida para t>0.
  • A transformada de Laplace de f é definida por
F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty} \cos t\,e^{-st}\,dt,
e o enunciado especifica que estamos considerando s>0.
  • A tarefa é calcular essa integral imprópria e mostrar que, para s>0,
F(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 2

Verificação da convergência (por que a integral existe para s>0).
  • Para mostrar que a integral converge absolutamente (uma forma simples de garantir existência), note que |\cos t|\le 1 para todo t. Então
\int_{0}^{\infty} \left|\cos t\,e^{-st}\right|\,dt \le \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
  • A integral do lado direito é uma integral exponencial simples:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s},
o qual é finito sempre que s>0.
  • Portanto a integral defining F(s) converge absolutamente para todo s>0. Em particular, faz sentido calcular F(s) por meio de limites de integrais definidas.

Passo 3

Escrevendo a integral como limite e escolhendo o método de cálculo.
  • Trabalhamos com a integral imprópria como limite:
F(s)=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} e^{-st}\cos t\,dt.
  • Vamos calcular a integral definida \displaystyle I(R)=\int_{0}^{R} e^{-st}\cos t\,dt por partes duas vezes. A razão: integração por partes aplicada duas vezes gera um sistema linear entre as integrais contendo \cos t e \sin t, que pode ser resolvido algebricamente — é um método elementar e direto que dá a resposta sem necessidade de números complexos.

Passo 4

Aplicando integração por partes e obtendo um sistema.
  • Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções diferenciáveis u e v,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
  • Defina as integrais auxiliares
I_{1}(R)=\int_{0}^{R} e^{-st}\cos t\,dt,\qquad I_{2}(R)=\int_{0}^{R} e^{-st}\sin t\,dt.
  • Calcule I_{1}(R) por partes escolhendo u=\cos t e dv=e^{-st}dt. Então du=-\sin t\,dt e v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-st}. Assim,
I_{1}(R)=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos t\right]_{0}^{R}-\int_{0}^{R}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)(- \sin t)\,dt.
Simplificando,
I_{1}(R)=-\frac{1}{s}e^{-sR}\cos R+\frac{1}{s}-\frac{1}{s}I_{2}(R).
  • Agora calcule I_{2}(R) por partes escolhendo u=\sin t e dv=e^{-st}dt. Então du=\cos t\,dt e v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Assim,
I_{2}(R)=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\sin t\right]_{0}^{R}-\int_{0}^{R}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\cos t\,dt,
ou seja
I_{2}(R)=-\frac{1}{s}e^{-sR}\sin R+\frac{1}{s}I_{1}(R).

Passo 5

Resolver o sistema e tomar o limite R\to\infty.
  • Substitua a expressão de I_{2}(R) em I_{1}(R):
I_{1}(R)=-\frac{1}{s}e^{-sR}\cos R+\frac{1}{s}-\frac{1}{s}\Big(-\frac{1}{s}e^{-sR}\sin R+\frac{1}{s}I_{1}(R)\Big).
  • Simplifique passo a passo:
I_{1}(R)=-\frac{1}{s}e^{-sR}\cos R+\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}e^{-sR}\sin R-\frac{1}{s^{2}}I_{1}(R).
  • Agrupe os termos com I_{1}(R):
I_{1}(R)\Big(1+\frac{1}{s^{2}}\Big)=\frac{1}{s}+e^{-sR}\Big(-\frac{1}{s}\cos R+\frac{1}{s^{2}}\sin R\Big).
  • Resolva para I_{1}(R). Note que 1+\frac{1}{s^{2}}=\dfrac{s^{2}+1}{s^{2}}. Assim
I_{1}(R)=\frac{s^{2}}{s^{2}+1}\left[\frac{1}{s}+e^{-sR}\Big(-\frac{1}{s}\cos R+\frac{1}{s^{2}}\sin R\Big)\right].
  • Multiplicando e simplificando os fatores dá uma forma mais direta:
I_{1}(R)=\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{e^{-sR}\big(-s\cos R+\sin R\big)}{s^{2}+1}.
  • Agora tome o limite R\to\infty. Para s>0 tem-se e^{-sR}\to 0 enquanto \cos R e \sin R permanecem limitadas entre -1 e 1. Logo o termo multiplicado por e^{-sR} tende a 0. Assim
F(s)=\lim_{R\to\infty}I_{1}(R)=\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 6

Comentários finais e interpretação (didática rápida).
  • O passo chave foi aplicar integração por partes duas vezes para criar um pequeno sistema linear entre as integrais com \cos t e \sin t, e então resolver esse sistema. Essa é uma técnica padrão para transformar integrais que se repetem em equações algébricas.
  • A condição s>0 é usada duas vezes: primeiro para garantir a convergência absoluta via comparação com \int_{0}^{\infty}e^{-st}dt; segundo para assegurar que o termo de fronteira contendo e^{-sR} desaparece ao fazer R\to\infty.
  • Em prova, bastaria escrever a demonstração seguindo esses passos: (1) mostrar convergência por comparação; (2) calcular integral por partes duas vezes; (3) resolver o sistema e tomar limite.

Resposta

F(s)=\frac{s}{s^{2}+1}

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