Utilizando o método de Gauss, resolva:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=10 \\\ 2 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=7 \\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=6 \\\ 4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear por eliminação de Gauss. O sistema dado é:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=10,\\[4pt] 2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=7,\\[4pt] 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}+2x_{4}=6,\\[4pt] 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=5. \end{cases}
Informações relevantes:
  • São quatro equações lineares em quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • O método solicitado é o método de Gauss (eliminação por operações elementares sobre linhas).]

Passo 2

Breve aula sobre o método de Gauss (modo prático e intuitivo):
  • Representa-se o sistema pela matriz aumentada e aplica-se operações elementares nas linhas para chegar a uma forma triangular (escalonada).
  • Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por escalar não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Objetivo: zerar entradas abaixo dos pivôs (elementos principais) coluna a coluna. Depois, se possível, faz-se substituição regressiva para obter as incógnitas.
    Vou aplicar essas ideias passo a passo ao sistema dado.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 10\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 1 & 7\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 4 & 3 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]]

Passo 4

Usando a primeira linha como pivô ( 1 na posição (1,1)), elimino as entradas abaixo na coluna 1:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}: R_{2}=[2,2,2,1\mid7]-2[1,2,3,4\mid10]=[0,-2,-4,-7\mid-13].
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}: R_{3}=[3,2,1,2\mid6]-3[1,2,3,4\mid10]=[0,-4,-8,-10\mid-24].
  • R_{4}\leftarrow R_{4}-4R_{1}: R_{4}=[4,3,2,1\mid5]-4[1,2,3,4\mid10]=[0,-5,-10,-15\mid-35].
A matriz ficou:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 10\\[4pt] 0 & -2 & -4 & -7 & -13\\[4pt] 0 & -4 & -8 & -10 & -24\\[4pt] 0 & -5 & -10 & -15 & -35 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora pivot na segunda coluna: a linha 2 tem -2 na coluna 2. Para facilitar, escalo R_{2} por -\tfrac{1}{2} (operação permitida) para obter pivot igual a 1:
R_{2}\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_{2} \quad\Rightarrow\quad R_{2}=[0,1,2,\tfrac{7}{2}\mid\tfrac{13}{2}].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 10\\[4pt] 0 & 1 & 2 & \tfrac{7}{2} & \tfrac{13}{2}\\[4pt] 0 & -4 & -8 & -10 & -24\\[4pt] 0 & -5 & -10 & -15 & -35 \end{array}\right]]

Passo 6

Elimino as entradas não nulas na coluna 2 das outras linhas, usando R_{2}:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-2R_{2}: R_{1}=[1,2,3,4\mid10]-2[0,1,2,\tfrac{7}{2}\mid\tfrac{13}{2}]=[1,0,-1,-3\mid-3].
  • R_{3}\leftarrow R_{3}+4R_{2} (porque R_{3} tem -4 em coluna 2): R_{3}=[0,-4,-8,-10\mid-24]+4[0,1,2,\tfrac{7}{2}\mid\tfrac{13}{2}]=[0,0,0,4\mid2].
  • R_{4}\leftarrow R_{4}+5R_{2} (porque R_{4} tem -5 em coluna 2): R_{4}=[0,-5,-10,-15\mid-35]+5[0,1,2,\tfrac{7}{2}\mid\tfrac{13}{2}]=[0,0,0,\tfrac{5}{2}\mid-\tfrac{5}{2}].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & \tfrac{7}{2} & \tfrac{13}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{5}{2} \end{array}\right]]

Passo 7

Interpreto as últimas duas linhas como equações simples em x_{4}:
  • A linha 3 corresponde a \;4x_{4}=2\;\Rightarrow\;x_{4}=\tfrac{1}{2}.
  • A linha 4 corresponde a \;\tfrac{5}{2}x_{4}=-\tfrac{5}{2}\;\Rightarrow\;x_{4}=-1.
Esses dois resultados para x_{4} são contraditórios ( \tfrac{1}{2}\neq -1). Isso significa que o sistema, ao ser escalonado, gerou duas equações incompatíveis — ou seja, o sistema é inconsistente.

Passo 8

Conclusão didática: quando, na forma escalonada, aparecem duas equações que atribuem valores diferentes à mesma variável (ou uma linha que dá uma igualdade falsa como 0=1), o sistema não tem solução. Aqui o processo de Gauss revelou exatamente isso via as linhas 3 e 4.

Resposta

O sistema é incompatível (não possui solução).

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