São quatro equações lineares em quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
O método solicitado é o método de Gauss (eliminação por operações elementares sobre linhas).]
Passo 2
Breve aula sobre o método de Gauss (modo prático e intuitivo):
Representa-se o sistema pela matriz aumentada e aplica-se operações elementares nas linhas para chegar a uma forma triangular (escalonada).
Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Objetivo: zerar entradas abaixo dos pivôs (elementos principais) coluna a coluna. Depois, se possível, faz-se substituição regressiva para obter as incógnitas.
Vou aplicar essas ideias passo a passo ao sistema dado.
Agora pivot na segunda coluna: a linha 2 tem -2 na coluna 2. Para facilitar, escalo R_{2} por -\tfrac{1}{2} (operação permitida) para obter pivot igual a 1:
R_{3}\leftarrow R_{3}+4R_{2} (porque R_{3} tem -4 em coluna 2):R_{3}=[0,-4,-8,-10\mid-24]+4[0,1,2,\tfrac{7}{2}\mid\tfrac{13}{2}]=[0,0,0,4\mid2].
R_{4}\leftarrow R_{4}+5R_{2} (porque R_{4} tem -5 em coluna 2):R_{4}=[0,-5,-10,-15\mid-35]+5[0,1,2,\tfrac{7}{2}\mid\tfrac{13}{2}]=[0,0,0,\tfrac{5}{2}\mid-\tfrac{5}{2}].
Interpreto as últimas duas linhas como equações simples em x_{4}:
A linha 3 corresponde a \;4x_{4}=2\;\Rightarrow\;x_{4}=\tfrac{1}{2}.
A linha 4 corresponde a \;\tfrac{5}{2}x_{4}=-\tfrac{5}{2}\;\Rightarrow\;x_{4}=-1.
Esses dois resultados para x_{4} são contraditórios (\tfrac{1}{2}\neq -1). Isso significa que o sistema, ao ser escalonado, gerou duas equações incompatíveis — ou seja, o sistema é inconsistente.
Passo 8
Conclusão didática: quando, na forma escalonada, aparecem duas equações que atribuem valores diferentes à mesma variável (ou uma linha que dá uma igualdade falsa como 0=1), o sistema não tem solução. Aqui o processo de Gauss revelou exatamente isso via as linhas 3 e 4.