Se f(t) é uma função contínua para todo t>0, a transformada de Laplace de f é definida por
F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t
cujo domínio é o conjunto de todos os números s para os quais a integral converge. Sabendo disso, escolha apenas uma das alternativas abaixo e resolva:
Mostre que a transformada da função f(t)=\sin t, \operatorname{com} s>0, é
F(s)=\frac{1}{s^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=\sin t e mostrar que, para s>0,
F(s)=\int_{0}^{\infty} \sin t\, e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s^{2}+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A definição da transformada de Laplace é \displaystyle F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-s t}\,dt.
  • A função dada é f(t)=\sin t, contínua para t>0.
  • Precisamos justificar tanto o valor da integral quanto a convergência (domínio) — aqui o enunciado indica s>0.

Passo 2

Trabalharemos com a integral imprópria como limite finito. Definimos, para R>0,
F_R(s)=\int_{0}^{R} e^{-s t}\sin t\,dt,
e depois tomaremos \displaystyle F(s)=\lim_{R\to\infty}F_R(s), desde que o limite exista. Vamos calcular F_R(s) explicitamente para s>0.

Passo 3

Calculamos a primitiva \displaystyle \int e^{-s t}\sin t\,dt usando integração por partes duas vezes (método padrão para integrar produto exponencial por função trigonométrica). Primeiro passo de partes:
escolhemos u=\sin t (logo du=\cos t\,dt) e dv=e^{-s t}\,dt (logo v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}). Assim,
\int e^{-s t}\sin t\,dt = uv-\int v\,du = -\frac{1}{s}e^{-s t}\sin t + \frac{1}{s}\int e^{-s t}\cos t\,dt.
Denotando I=\displaystyle\int e^{-s t}\sin t\,dt e J=\displaystyle\int e^{-s t}\cos t\,dt, temos
I = -\frac{1}{s}e^{-s t}\sin t + \frac{1}{s}J.

Passo 4

Agora calculamos J também por partes. Escolhemos u=\cos t ( du=-\sin t\,dt) e dv=e^{-s t}\,dt ( v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}). Então
J = -\frac{1}{s}e^{-s t}\cos t - \frac{1}{s}\int e^{-s t}\sin t\,dt.
Ou seja,
J = -\frac{1}{s}e^{-s t}\cos t - \frac{1}{s}I.

Passo 5

Voltamos para a expressão de I e substituímos J:
I = -\frac{1}{s}e^{-s t}\sin t + \frac{1}{s}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\cos t - \frac{1}{s}I\right).
Simplificando,
I = -\frac{1}{s}e^{-s t}\sin t -\frac{1}{s^{2}}e^{-s t}\cos t -\frac{1}{s^{2}}I.
Agora isolamos I no lado esquerdo:
I + \frac{1}{s^{2}}I = -e^{-s t}\!\left(\frac{1}{s}\sin t + \frac{1}{s^{2}}\cos t\right).
Fatorando I,
I\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right)= -e^{-s t}\!\left(\frac{1}{s}\sin t + \frac{1}{s^{2}}\cos t\right).
Como 1+\dfrac{1}{s^{2}}=\dfrac{s^{2}+1}{s^{2}}, obtemos
I = -\frac{s^{2}}{s^{2}+1}\,e^{-s t}\!\left(\frac{1}{s}\sin t + \frac{1}{s^{2}}\cos t\right).
Multiplicando e simplificando os fatores:
\int e^{-s t}\sin t\,dt = -\frac{e^{-s t}}{s^{2}+1}\bigl(s\sin t + \cos t\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Usamos essa primitiva para calcular a integral definida de 0 a R:
F_R(s)=\int_{0}^{R} e^{-s t}\sin t\,dt =\left.-\frac{e^{-s t}}{s^{2}+1}\bigl(s\sin t + \cos t\bigr)\right|_{t=0}^{t=R}.
Avaliaremos as extremidades: em t=R fica -\dfrac{e^{-s R}}{s^{2}+1}\bigl(s\sin R + \cos R\bigr). Em t=0, temos \sin 0=0, \cos 0=1 e e^{0}=1, portanto a contribuição em 0 é -\dfrac{1}{s^{2}+1}\cdot(0+1)=-\dfrac{1}{s^{2}+1}. Subtraindo (valor em R menos valor em 0) com atenção ao sinal, obtemos
F_R(s)=\frac{1 - e^{-s R}\bigl(s\sin R + \cos R\bigr)}{s^{2}+1}.

Passo 7

Agora tomamos o limite quando R\to\infty. Precisamos verificar que o termo com R vai a zero quando s>0. Note que
\left|e^{-s R}\bigl(s\sin R + \cos R\bigr)\right| \le e^{-s R}\bigl(s|\sin R| + |\cos R|\bigr) \le e^{-s R}(s+1).
Para s>0, \displaystyle e^{-s R}(s+1)\to 0 quando R\to\infty, portanto
\lim_{R\to\infty} e^{-s R}\bigl(s\sin R + \cos R\bigr)=0.
Assim o limite da expressão de F_R(s) é
F(s)=\lim_{R\to\infty}F_R(s)=\frac{1-0}{s^{2}+1}=\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 8

Conclusão final: para s>0 a integral impropria converge (pois o fator exponencial domina a oscilação de \sin t) e o valor da transformada de Laplace de \sin t é \dfrac{1}{s^{2}+1}. Boa! Esse é um resultado clássico e muito útil — decora ele para a prova, e lembra que a condição s>0 garante convergência.

Resposta

\displaystyle F(s)=\frac{1}{s^{2}+1}

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