Exercício 3: Resolva o sistema retendo duas casas decimais e calcule o erro considerando três casas decimais.
a)
3 x1+5 x2+3 x3 & =5 7 x1-3 x2+x3 & =10,4 2 x1+4 x2-5 x3 & =19,7

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra resolver um sistema 3×3 usando eliminação de Gauss e, em cada operação, a gente deve reter só duas casas decimais. Depois disso, calcula o erro comparando com a solução “exata” e dá esse erro com três casas decimais.
Conteúdo: álgebra linear básica – matriz aumentada, eliminação de Gauss (zerar abaixo do pivô) e retro-substituição. Vamos precisar: montar a matriz aumentada, fazer operações de linha, arredondar resultados para 2 decimais e depois comparar com a solução “verdadeira” para achar o erro.

Passo 2

Monta a matriz aumentada do sistema

Passo 3

Zerar o x1 nas linhas 2 e 3, usando pivot da linha 1.
  1. Fator para L2: 7/3approx2.33. L2L2-2.33,L1;Longrightarrow; -3-2.33cdot5=-14.65 1-2.33cdot3=-5.99 10.40-2.33cdot5=-1.25 Arredondando: L2=[0 -14.65 -5.99mid -1.25]
    2) Fator para L3: 2/3approx0.67.
    $$L3\leftarrowL3-0.67,L1;\Longrightarrow;\begin{cases}
    4-0.67\cdot5=0.65\
    -5-0.67\cdot3=-7.01\
    19.70-0.67\cdot5=16.35\end{cases} L3L3-0.67,L1;Longrightarrow; 4-0.67cdot5=0.65 -5-0.67cdot3=-7.01 19.70-0.67cdot5=16.35 L3=[0\quad 0.65\quad -7.01\mid 16.35].$$

Passo 4

Zerar o x2 na linha 3, usando pivot da linha 2:
Fator para L3: 0.65/(-14.65)approx-0.04.
L3L3-(-0.04),L2 ;Longrightarrow; 0.65-(-0.04)(-14.65)=0.06 -7.01-(-0.04)(-5.99)=-7.25 16.35-(-0.04)(-1.25)=16.30
Arredondando:
L3=[00 -7.25mid 16.30]

Passo 5

Agora faz retro-substituição e arredonda tudo a 2 decimais:
  1. Da linha 3:
$$-7.25,x_3=16.30\quad\Longrightarrow\quad
x_3=\frac{16.30}{-7.25}\approx -2.25. -7.25,x3=16.30Longrightarrow x3=16.30-7.25approx -2.25-14.65,x_2-5.99,(-2.25)=-1.25
;\Longrightarrow;x_2=\frac{-1.25+5.99\cdot2.25}{-14.65}
\approx1.01. -14.65,x2-5.99,(-2.25)=-1.25 ;Longrightarrow;x2=-1.25+5.99cdot2.25-14.65 approx1.013,x_1+5(1.01)+3(-2.25)=5
;\Longrightarrow;x_1=\frac{5-5.05+6.75}{3}\approx2.23.$$

Passo 6

Calcula o erro comparando com a solução “exata” (mais casas decimais):
x1^*=2.235892,;x2^*=1.003292,;x3^*=-2.241379
Erros absolutos:
$$e_1=|2.235892-2.23|\approx0.006,\quad
e_2=|1.003292-1.01|\approx0.007,\quad
e_3=|{-2.241379}-(-2.25)|\approx0.009.$$

Resposta

Solução aproximada (2 decimais):
x1=2.23, x2=1.01, x3=-2.25
Erros absolutos (3 decimais):
e1=0.006, e2=0.007, e3=0.009

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