Pergunta 3
Deseja-se estimar a integral \int_{0}^{2} x^{2} d x
usando \mathrm{n}=10, construa tabela de valores (com 4 casas de arredondamento) e responda: \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado pede estimar a integral \displaystyle \int_{0}^{2} x^{2}\,dx usando n=10 e construir uma tabela de valores com 4 casas decimais. Informações dadas:
  • Integração em [0,2].
  • Função integranda: f(x)=x^{2}.
  • Número de subintervalos: n=10.
  • É exigido construir a tabela de pontos e valores de f com 4 casas decimais.
    O que se espera como resposta é o valor aproximado da integral obtido a partir desses dados (com a tabela solicitada).

Passo 2

Escolha do método e ideias principais (explicação didática e curta, como um amigo explicando).
  • Para estimar a integral com n=10 e uma tabela de valores igualmente espaçados, o método mais direto e básico é a regra composta do trapézio. É simples de aplicar e usa exatamente os valores f(x_{i}) que vamos calcular na tabela.
  • Definições e fórmula:
    • Intervalo total: [a,b]=[0,2].
    • Passo (largura de cada subintervalo): h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{10}=0,2.
    • Nós igualmente espaçados: x_{i}=a+i\,h,\qquad i=0,1,\dots,n.
    • Regra composta do trapézio: T_{n}=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\Bigr).
    • Aqui h é a largura de cada subintervalo, x_{i} são os pontos onde avaliamos f e f(x_{i}) são os valores da função nesses pontos.

Passo 3

Construção da tabela de valores (x_{i},f(x_{i})) com 4 casas decimais. Como o enunciado pediu 4 casas, cada valor é arredondado para 4 casas decimais. Lembre-se que h=0,2.
i=0:\quad x_{0}=0,0000,\quad f(x_{0})=0,0000\n
i=1:\quad x_{1}=0,2000,\quad f(x_{1})=0,0400\n
i=2:\quad x_{2}=0,4000,\quad f(x_{2})=0,1600\n
i=3:\quad x_{3}=0,6000,\quad f(x_{3})=0,3600\n
i=4:\quad x_{4}=0,8000,\quad f(x_{4})=0,6400\n
i=5:\quad x_{5}=1,0000,\quad f(x_{5})=1,0000\n
i=6:\quad x_{6}=1,2000,\quad f(x_{6})=1,4400\n
i=7:\quad x_{7}=1,4000,\quad f(x_{7})=1,9600\n
i=8:\quad x_{8}=1,6000,\quad f(x_{8})=2,5600\n
i=9:\quad x_{9}=1,8000,\quad f(x_{9})=3,2400\n
i=10:\; x_{10}=2,0000,\quad f(x_{10})=4,0000

Passo 4

Aplicação da regra composta do trapézio usando os valores da tabela.
  • Soma dos valores interiores f(x_{1})+\cdots+f(x_{9}): S=\;0,0400+0,1600+0,3600+0,6400+1,0000+1,4400+1,9600+2,5600+3,2400=11,4000.
  • Agora aplicar a fórmula \displaystyle T_{n}=\frac{h}{2}\bigl(f(x_{0})+2S+f(x_{n})\bigr): T_{10}=\frac{0,2}{2}\bigl(0,0000+2\cdot11,4000+4,0000\bigr)=0,1\cdot\bigl(0+22,8000+4,0000\bigr)=0,1\cdot26,8000.
T_{10}=2,6800.
  • Resultado arredondado com 4 casas decimais: T_{10}=2,6800.

Passo 5

Interpretação e comparação com o valor exato (aqui é útil para entender o erro e aprender para a prova).
  • O valor exato da integral pode ser obtido por cálculo analítico rápido: \int_{0}^{2} x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}\approx2,6667.
  • Comparação: a aproximação pelo trapézio deu 2,6800. O erro numérico é T_{10}-\text{exato}=2,6800-\frac{8}{3}=2,6800-2,666\overline{6}=0,0133\\ (\text{aprox.}).
  • Observação didática: como f(x)=x^{2} é uma função convexa ( f''(x)=2>0), os segmentos de reta que formam os trapézios ficam, em média, acima da curva; por isso a regra do trapézio produz uma superestimação aqui (resultado maior que o exato). Se for permitido usar uma regra um pouco mais avançada, a regra de Simpson composta daria o valor exato para polinômios de grau até 3 — neste caso, Simpson com n=10 (número par) seria exato e devolveria \dfrac{8}{3}.

Resposta

2,6800

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