Pergunta 3
Deseja-se estimar a integral
usando
, construa tabela de valores (com 4 casas de arredondamento) e responda:
usando
Passo 1
O enunciado pede estimar a integral
usando
e construir uma tabela de valores com 4 casas decimais. Informações dadas:
- Integração em
. - Função integranda:
. - Número de subintervalos:
. - É exigido construir a tabela de pontos e valores de
com 4 casas decimais.
O que se espera como resposta é o valor aproximado da integral obtido a partir desses dados (com a tabela solicitada).
Passo 2
Escolha do método e ideias principais (explicação didática e curta, como um amigo explicando).
- Para estimar a integral com
e uma tabela de valores igualmente espaçados, o método mais direto e básico é a regra composta do trapézio. É simples de aplicar e usa exatamente os valores que vamos calcular na tabela. - Definições e fórmula:
- Intervalo total:
. - Passo (largura de cada subintervalo):
- Nós igualmente espaçados:
- Regra composta do trapézio:
- Aqui
é a largura de cada subintervalo, são os pontos onde avaliamos e são os valores da função nesses pontos.
- Intervalo total:
Passo 3
Construção da tabela de valores
com 4 casas decimais. Como o enunciado pediu 4 casas, cada valor é arredondado para 4 casas decimais. Lembre-se que
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Passo 4
Aplicação da regra composta do trapézio usando os valores da tabela.
- Soma dos valores interiores
: - Agora aplicar a fórmula
:
- Resultado arredondado com 4 casas decimais:
.
Passo 5
Interpretação e comparação com o valor exato (aqui é útil para entender o erro e aprender para a prova).
- O valor exato da integral pode ser obtido por cálculo analítico rápido:
- Comparação: a aproximação pelo trapézio deu
. O erro numérico é - Observação didática: como
é uma função convexa ( ), os segmentos de reta que formam os trapézios ficam, em média, acima da curva; por isso a regra do trapézio produz uma superestimação aqui (resultado maior que o exato). Se for permitido usar uma regra um pouco mais avançada, a regra de Simpson composta daria o valor exato para polinômios de grau até 3 — neste caso, Simpson com (número par) seria exato e devolveria .
Resposta
2,6800