Exercício 1 Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de fatoração LU. (Utilize operações com arredondamento para dois dígitos)

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear por fatoração LU, arredondando todas as operações a dois dígitos. Vamos escrever na forma Ax=b, onde
A = 1 & -tfrac12 & 1 & 0 2 & -1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 & 0 1 & -tfrac12 & 1 & 1
b = 4 5 2 5
Note que o pivô em (2,2) seria zero, então usamos fatoração PLU com pivotamento parcial.

Passo 2

Definimos a matriz de permutação que troca a 2ª e a 3ª linhas:
P = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Calculamos PA e Pb:
PA = 1 & -tfrac12 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 2 & -1 & -1 & 1 1 & -tfrac12 & 1 & 1 , Pb = 4 2 5 5
Para zerar abaixo de PA11 usamos os multiplicadores (arredondados a dois dígitos):
m21 = 11 = 1,00, m31 = 21 = 2,00, m41 = 11 = 1,00
Subtraindo essas vezes a primeira linha de PA, obtemos uma matriz já triangular superior.

Passo 3

O resultado da fatoração PA = L,U é
L = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 1 , U = 1 & -tfrac12 & 1 & 0 0 & 1,50 & -1 & 0 0 & 0 & -3 & 1 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Resolvemos Ly = Pb por substituição direta:
Da 1ª linha
y1 = 4
Da 2ª linha
1cdot y1 + y2 = 2 Longrightarrow y2 = 2 - 4 = -2
Da 3ª linha
2cdot y1 + y3 = 5 Longrightarrow y3 = 5 - 8 = -3
Da 4ª linha
1cdot y1 + y4 = 5 Longrightarrow y4 = 5 - 4 = 1
Logo
y = 4-2-31

Passo 5

Resolvemos Ux = y por retro-substituição:
4ª linha
x4 = 1
3ª linha
-3,x3 +1cdot x4 = -3 Longrightarrow -3,x3 +1 = -3 Longrightarrow x3 = -4-3 = 1,3333ldots approx 1,33
2ª linha
1,50,x2 -1,x3 = -2 Longrightarrow 1,50,x2 = -2 + 1,33 = -0,67 Longrightarrow x2 = -0,671,50 approx -0,45
1ª linha
x1 -0,50,x2 + x3 = 4 Longrightarrow x1 = 4 + 0,50cdot(-0,45) -1,33 = 2,445 approx 2,45

Resposta

(x1,x2,x3,x4) approx (2,45,,-0,45,,1,33,,1,00)

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