Exercício 1 Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de fatoração LU. (Utilize operações com arredondamento para dois dígitos)

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x1-x2+2x3-x4=-8, 2x1-2x2+3x3-3x4=-20, x1+x2+x3= -2, x1-x2+4x3+3x4=4,
e pede a solução por fatoração LU com arredondamento a dois dígitos. Como aparece um pivô nulo na segunda etapa sem permutações, faremos LU com pivotamento parcial (P A=LU).

Passo 2

Escrevemos A e b:
A= 1 & -1 & 2 & -1 2 & -2 & 3 & -3 1 & 1 & 1 & 0 1 & -1 & 4 & 3 , b=-8-20-24
Primeiro pivot: na coluna 1, o maior em valor absoluto é a21=2, então trocamos as linhas 1 e 2. Isso define
P^(1)A= 2 & -2 & 3 & -3 1 & -1 & 2 & -1 1 & 1 & 1 & 0 1 & -1 & 4 & 3 , P^(1) b=-20-8-24

Passo 3

Fazemos eliminação de Doolittle com pivôes e arredondamos a 2 dígitos:
1. Pivô u11=2.
l21=tfrac12=0,50,;l31=0,50,;l41=0,50
Atualizando linhas 2 4:
l linha 2: [0,;0,00,;0,50,;0,50],;b2=2,00, linha 3: [0,;2,00,;-0,50,;1,50],;b3=8,00, linha 4: [0,;0,00,;2,50,;4,50],;b4=14,00
2. Na coluna 2, o maior pivô em valor absoluto entre linhas 2 4 é 2,00 (linha 3), então trocamos linhas 2 e 3.
3. Pivô u22=2,00.
l32=0,00,;l42=0,00
Não mudam os elementos de U nas linhas 3 e 4 nem b3,b4.
4. Pivô u33=0,50.
l43=tfrac2,500,50=5,00
Atualizando linha 4:
;u44=4,50-5,00cdot0,50=2,00,;b4=14,00-5,00cdot2,00=4,00
No fim, temos
P= 0&1&0&0 0&0&1&0 1&0&0&0 0&0&0&1 , L= 1&0&0&0 0,50&1&0&0 0,50&0,00&1&0 0,50&0,00&5,00&1 , U= 2&-2&3&-3 0&2,00&-0,50&1,50 0&0&0,50&0,50 0&0&0&2,00

Passo 4

Resolvemos L y=P b. Primeiro calculamos P b (duas permutações em b):
;P b=l[-20,,-2,,-8,,4r]^T
Então
y1=-20, y2=-2 -0,50cdot(-20)=8,00, y3=-8 -l(0,50cdot(-20)+0cdot8r)=2,00, y4=4 -l(0,50cdot(-20)+0cdot8+5,00cdot2r)=4,00

Passo 5

Resolvemos Ux=y por retro-substituição:
2,00,x4&=4,00Rightarrow;x4=2,00, 0,50,x3+0,50cdot2,00&=2,00Rightarrow;x3=2,00, 2,00,x2-0,50cdot2,00+1,50cdot2,00&=8,00Rightarrow;x2=3,00, 2,x1-2cdot3,00+3cdot2,00-3cdot2,00&=-20Rightarrow;x1=-7,00

Resposta

x1=-7,00, x2=3,00, x3=2,00, x4=2,00

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