Exercício 1 Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de fatoração LU. (Utilize operações com arredondamento para dois dígitos)
c14 x1+15 x2+16 x3=9 13 x1+14 x2+15 x3=8 12 x1+x2+2 x3=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
tfrac14 x1+tfrac15 x2+tfrac16 x3=9, tfrac13 x1+tfrac14 x2+tfrac15 x3=8, tfrac12 x1+1,x2+2,x3=8
usando fatoração LU (método de Doolittle) e arredondando cada operação a dois dígitos decimais. Vamos montar A e b, fatorar A=LU, depois resolver Ly=b e Ux=y.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes e o vetor de termos independentes, já arredondando cada coeficiente a dois dígitos decimais:
A = 0,25 & 0,20 & 0,17 0,33 & 0,25 & 0,20 0,50 & 1,00 & 2,00 , b = 9,008,008,00
No método de Doolittle, escolhemos
L = 1 & 0 & 0 L21 & 1 & 0 L31 & L32 & 1 , U = U11 & U12 & U13 0 & U22 & U23 0 & 0 & U33
Calculamos primeiro
U11 = a11 = 0,25, L21 = 0,330,25 = 1,32, L31 = 0,500,25 = 2,00

Passo 3

Eliminamos o primeiro pivô para obter os demais elementos de U e L, arredondando a cada operação:
Calculemos
U12 = a12 = 0,20, U13 = a13 = 0,17,
U22 = a22 - L21,U12 = 0,25 - 1,32cdot0,20 = 0,25 - 0,264 = -0,014approx -0,01,
U23 = a23 - L21,U13 = 0,20 - 1,32cdot0,17 = 0,20 - 0,2244 = -0,0244approx -0,02
Em seguida, para a terceira linha:
L32 = a32 - L31,U12U22 = 1,00 - 2,00cdot0,20-0,01 = 1,00 - 0,40-0,01 = 0,60-0,01 = -60,00,
e U33 = a33 - L31,U13 - L32,U23 = 2,00 - 2,00cdot0,17 - (-60,00)cdot(-0,02) = 2,00 - 0,34 - 1,20 = 0,46

Passo 4

As matrizes L e U finais são
L= 1,00 & 0 & 0 1,32 & 1,00 & 0 2,00 & -60,00& 1,00 , U= 0,25 & 0,20 & 0,17 0 & -0,01& -0,02 0 & 0 & 0,46

Passo 5

Resolvemos Ly=b por substituição direta, arredondando:
y1 = 9,00, y2 = 8,00 - 1,32cdot9,00 = 8,00 - 11,88 = -3,88,
y3 = 8,00 - 2,00cdot9,00 - (-60,00)cdot(-3,88) = 8,00 - 18,00 - 232,80 = -242,80

Passo 6

Resolvemos Ux=y por substituição regressiva:
x3 = y3U33 = -242,800,46 = -527,83,
x2 = y2 - U23,x3U22 = -3,88 - (-0,02)cdot(-527,83)-0,01 = -3,88 - 10,56-0,01 = 1443,66,
x1 = y1 - U12,x2 - U13,x3U11 = 9,00 - 0,20cdot1443,66 - 0,17cdot(-527,83)0,25 = -190,000,25 = -760,00

Resposta

x1 = -760,00, x2 = 1443,66, x3 = -527,83.

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