Exercício 4 - Seja f(x)=x^3-9 x+3 e x0=0,5. Dado que xi in(0,1), encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo método de ponto fixo usando a função de iteração varphi(x)=x^3+39 com precisão varepsilon=10^-4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um zero de f(x)=x^3-9x+3 no intervalo (0,1) usando o método do ponto fixo com a iteração
varphi(x)=x^3+39
e precisão varepsilon=10^-4. Para isso, vamos verificar que varphi é contração em [0,1] e depois aplicar iterações até l|xn+1-xnr|<varepsilon.

Passo 2

Calculamos a derivada de varphi:
varphi'(x)=3x^29=x^23
No intervalo [0,1] temos 0<= x^2<=1, logo
0<=varphi'(x)<=13<1
Isso mostra que varphi é uma contração em [0,1] e, portanto, o método do ponto fixo converge para o único ponto fixo xiin(0,1).

Passo 3

Definimos a sequência de iteração
xn+1=varphi(xn)=xn^3+39,
com x0=0,5, e interrompemos quando
l|xn+1-xnr|<10^-4

Passo 4

Calculamos algumas iterações:
x1=0,5^3+39=0,125+39=0,347222ldots
x2=0,347222^3+39=0,04187+39=0,337989ldots
x3=0,337989^3+39=0,03857+39=0,337621ldots
x4=0,337621^3+39=0,03849+39=0,337613ldots
Verificamos as diferenças:
|x2-x1|=0,00923>10^-4, |x3-x2|=0,00037>10^-4, |x4-x3|=0,000008<10^-4
Logo, a iteração pára em n=4.

Resposta

A aproximação do zero de f pelo método do ponto fixo é
xiapprox0,3376

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